Page 30 - 4328

v  u 
Згідно з другою умовою Коші-Рімана   , тоді
x  y 
v  u  u 
 2y    x   , але   2y .
x  y  y 
Маємо
2y      2yx  ,

    0x ,
   Cx  .
Отже, (xv , ) y  2xy  2y  . C Звідки
2
2
f (z )  x  y  2x  i 2xy  2y  C .
Знайдемо константу С, враховуючи початкову умову
f i ) (  2 i , 1 тобто поклавши x , 0 y , 1 бо i  0  1 . i
f i ) (   1 2  C  i 2 i . 1
Звідси C  . 0
Враховуючи, що z  x  iy , після перетворень отримуємо
2
2
2
f (z )  x  2xyi  y   2 x  iy   z  2z .
2
Отже, (zf )  z  2z .
Спосіб 3. Скористаємось формулою (2.31)
2
2
У нашому випадку (u x , ) y  x  y  2x .
u u 
Отже,  2 x , 2   2y .
x y 
За точку ( yxu , ) виберемо точку ( yxu , ) За шлях інтегрування
ламану ОАВ (рис.2.2)

30