Page 24 - 4328

тобто виберемо з даного околу точку z  z , функція одержує приріст
 w  f (z  ) z  f (z ) при переході від точки z до точки z  z .

Рисунок 2.1
Означення. Функція w  f (z ) називається диференційовною в
 w
точці z  , D якщо відношення має границю, коли z прямує до
 z
нуля довільним чином. Ця границя називається похідною функції
dw
f (z ) в точці z і позначається f  (z ) (або w чи ).
dz
Отже, за означенням маємо
 w
lim  f ( z ) w (2.26)
 z0 z 

ТЕОРЕМА. Для того щоб функція w  ( z ) u  iv мала
f
похідну в точці z  x  iy , необхідно і достатньо, щоб:
1) дійсні функції ( yxu , ) та ( yxv , ) були диференційовані в цій
точці z  x  iy ;
2) в цій точці z  x  iy виконувались умови Коші-Рімана
du dv
 
 dx dy
 (2.27)
 du   dv
 dy dx


Всі властивості похідних функцій комплексної змінної,
включаючи таблицю похідних, та правила диференціювання такі ж, як
і для функцій дійсної змінної.

24