Page 31 - 4328

y
B(x,y)

x
A(x,0)
O

Рисунок 2.2

Маємо
x,  y x y
v( x, y)   2 ydx   x2  2 dy  0 dx    x 22  dy  2  x 1   Cy .

 0,0  0 0
2
2
Тоді (zf )  x  y  2x  i  2 x   1 y  C .
Знайдемо С з умови, що ( if ) 2 i , 1 тобто (  if 0  ) 1  2 i : 1
 1 i 2  C  2  i 1  C  . 0

2
2
Отже, (zf )  x  y  2x   2 x  1  .yi
Враховуючи, що z  x  iy , після перетворень отримуємо
2
2
2
f (z )  x  2xyi  y   2 x  iy   z  2z .
2
Отже, (zf )  z  2z .

Геометричний зміст модуля і аргументу похідної
Нехай функція f (z ) аналітична в точці z і   0zf . Тоді
0 0
f  z 0 дорівнює коефіцієнту розтягу в точці z при відображенні
0
w  f  z площини Z на площину W ; інакше, при   1zf має місце
0
розтяг, при   1zf – стиск.
0
Аргумент похідної  zf  геометрично дорівнює куту, на який
0
треба повернути дотичну в точці z до будь-якої гладкої кривої на
0
,
площині Z, що проходить через точку z щоб одержати напрямок
0
дотичної в точці w  f  z до образу цієї кривої на площині W при
0 0