Page 27 - 4328

2 2 2 2 2
2
2
2
 u  2x x  y   2 x  y  2 yx  x 
 
x 2 x 2  y 2  4
2
2
2
2
 2x x  y  2y  2x 2  x  3y 2
 3  2x 3 ;
2
2
x  y 2  x  y 2 
u  2xy
  ,
y  x  y 2  2
2
2 2 2
2
2
2
 u x x  y   2 x  y 2yxy
 2 
y 2 x 2  y 2  4
2
2
2
x  y  4y 2 x  3y 2
  2x 3   2x 3 .
2
2
x  y 2  x  y 2 
2
2
 u  u
u    . 0
x 2 y 2
Згідно з означенням, ( yxu , ) – гармонічна функція.
y
в) ( yxu , )  arctg .
x
u  1  y  y  2 u 2xy
      ,  ;
2
2
x  y 2  x  x  y 2 x  2 x  y 2  2
2
1
x 2
u  1 1 x  2 u 2xy
   ,   .
2
2
y  y 2 x x  y 2 y  2 x  y 2  2
1
x 2
2
2
 u  u
u    . 0
x 2 y 2
Згідно з означенням, ( yxu , ) – гармонічна функція.

Відновлення функції за її дійсною або уявною частиною
Якщо відомо, що функція f ( z ) u  iv аналітична в деякій
області D, і відома її тільки дійсна частина ( yxu , ) або тільки уявна
27