Page 22 - 4328

Для неперервності функції комплексної змінної
f ( z)  u  yx,  iv  yx,  в точці z  x  iy , необхідно та достатньо,
0 0 0
щоб її дійсна та уявна частини, тобто функції ( yxu , ), ( yxv , ), були
неперервні в точці (x , y ) за сукупністю змінних x і .y
0 0
Означення. Функція f (z ) комплексної змінної називається
неперервною в області D, якщо вона неперервна в кожній точці цієї
області.
Сума, різниця та добуток двох функцій комплексної змінної
f (z ) та g (z ),неперервних в області D, також є неперервною
f ( z)
функцією в цій області, а функція неперервна в тих точках
g  z
області D, де (zg )  . 0

,
Якщо функція (zf ) неперервна в точці z а (F ) неперервна в
0
точці  f  ,x то складна функція  (zfF  ) неперервна в точці .z
0 0
Означення. Функція (zf ) називається рівномірно неперервною
в області D, якщо для будь-якого числа  0 знайдеться таке число
   ( )  , 0 що для будь-яких точок , zz  , D які задовольняють
1 2
умову z  z  ,  виконується нерівність f (z )  f   z .
1 2 1 2

Приклад 2.3
Знайти границі заданих функцій.
2z
2
z  3iz  2 cos 2z e  1
а) lim ; б) lim ; в) lim .
z
z i  z  i z  chiz  i shiz z   i e  i
4 2
Розв’язок
2
z  3iz  2  0 z  i z  2i 
.
а) lim     lim  lim z  2i  i
z i  z  i  0  z i  z i  z i 
cos z 2 0  cos z 2
б) lim     lim 


z  ch iz  ish iz 0  z  cos z  sin z
4 4

22