Page 28 - 430

Перейдемо до границі при x  0 . Дістаємо
z  f  u  f  v 
    (2.9)
x  u  x  v  x 
Аналогічно
z  f  u  f  v 
    (2.10)
y  u  y  v  y 

2
2
Приклад 2.5 Нехай z  u 2 ln v , u  sin xy , v  x  y .
z 
Знайти частинну похідну .
x 
Розв’язання.

f  2 f  2 u 2
 (u ln ) v  u  2u ln , v  (u ln  v ,
) v 
u  v  v

u  v  2 2
) 
) 
 (sin xy  x y cos xy ,  (x  y  x 2x .
x  x 
Тоді
z  u 2
2
 2u ln v  y cos xy   2x  2 sin xy  y cos xy ln(x 
x  v

2
2
sin xy 2 2 2x sin xy
2
 y )   2x  y sin 2xy  ln(x  y )  .
2
2
x  y 2 x  y 2
Якщо u  u (x ), v  v (x ), то з формули (2.9) дістаємо
вираз для повної похідної
dz z  du z  dv
    . (2.11)
dx u  dx v  dx

1 u 2 2
Приклади 2.6 Нехай z  ln , u  tg x, v  ctg x .
2 v

27