Page 25 - 430

f    yx ,  f x  x ,y  y  f   yx ,  f x  x ,y   y 

 f  ,yx  y   f  ,yx  y   f  ,yx  f   ,yc 1   y   x
x 
f   ,cx 
 2 , y  (2.2)
y 
де c   , xx   x ,c   , yy   . y
1 2
Нехай в точці Р(х, у) обидві частинні похідні
неперервні. Оскільки f  неперервна, то
x
f  ( c , y  y) f  ( x, y)
lim 1  . Звідси (за відомою теоремою
 x0 x  x 
 y0
про границю) в околі точки Р(х, у)

f  (c , y  ) y f  (x , ) y
1   ( x , y ).
x  x  1
Аналогічно
f   yx,  f   yx, 
lim 
 x0 y  y 
 y0
f   ,cx  f   , yx 
і 2    2  x , y ,
y  y 
( , – нескінченно малі при x  , 0 y  0 ).
1 2
Тоді, враховуючи (2.2), дістаємо
f   yx, f   yx,
 yxf ,   x  y 1  x 2 y  (2.3)
x  y 
Означення 2.1 Функція z  f (x , ) y називається
диференційованою в точці Р(х, у), якщо в деякому околі цієї
точки повний приріст f (x , ) y набирає вигляду (2.3).

24