Page 33 - 430

Останні дві похідні називаються мішаними похідними
другого порядку.
 2 f  2 f
Взагалі то 
 x y  y . x
Відповідь на питання, за яких умов значення змішаних
похідних не залежать від порядку диференціювання дає
наступна теорема
Теорема 2.1 Якщо змішанні похідні f  , f  існу-
xy yx
ють і неперервні в точці Р (х, у) і деякому її околі, то в цій
 
точці вони рівні між собою, тобто f  f 
xy yx .
Теорему подаємо без доведення.

Приклад 2.10 z  sin x  cos . y
Розв’язання. Маємо
z  z 
 cos x cos , y   sin x sin , y
x  y 

 2 z  2 z
  cos x sin , y   cos x sin . y
 x y  y x
 2 z  2 z
Отже, 
 x y  y . x

Зазначимо, що аналогічні теореми слушні для
змішаних похідних будь-якого порядку функцій довільного
числа змінних.
Означення 2.2 Диференціалом другого порядку від
функції f (x , ) y називаються диференціал від її першого
диференціала, тобто d 2 f  d (df ). За таких умов:

32