Page 26 - 430

Головну частину приросту функції z  f (x , ) y , лінійну

відносно x і y , називають повним диференціалом цієї
функції і позначають символом dz або df (x , ) y . Отже,
f  (x , ) y f  (x , ) y
dz  df (x , ) y   x   . y
x  y 
Оскільки x  dx,  y  dy , то
f  (x , ) y f  (x , ) y
df (x , ) y  dx  dy . (2.4)
x  y 
Тепер можемо записати df (x , ) y  f  (x , y ). (2.5)
Зазначимо, що на відміну від функції однієї змінної,
диференційованість функції двох змінних передбачає не
лише існування, а й їх неперервність.
Усе вище викладене поширюється на функції трьох і
більшого числа змінних.

Приклад 2.4 Знайти частинні похідні функції
yz
u  x .
Розв’язання.
u  yz  yz 1 u  yz  yz yz
  x  yzx ,   x  x  ln x ( yz)  zx  ln x ,

x  x y  y y

u  yz  yz yz

  x  x  ln x ( yz)  yx  ln x .
z  z z
Якщо u  f (x , , y ) z , то повний диференціал має вигляд
u  u  u 
du  dx  dy  dz . (2.6)
x  y  z 
В цьому випадку маємо:
yz
du  yzx yz 1 dx  zx ln xdy  yx yz ln xdz .

25