Page 31 - 430

2.5 Диференціювання неявних функцій

Нехай маємо неявну функцію однієї змінної
F F
F (x , y ) 0 , для якої dF  dx  dy  0. Звідси
x y
dy F F  F 
  / ,     0 (2.13)

dx x y  y 
Тепер розглянемо неявну функцію двох змінних
F (x , y , z )  0 . Аналогічно попередньому
F F F
dF  dx  dy  dz  0 .
x y z
Нехай y  const , тобто dy  0 . Тоді
F F
x  z  . 0 При x  0 дістаємо
x z
z F F  F 
  / ,   0 .  2.14)
x x z  z 
Аналогічно, якщо x  const , тобто dx  0 , і y  0
z F F F
  / , (  0 ). 2.15)
y y z z

Приклад 2.8 Знайти похідну неявної функції у,
заданої рівнянням x 2  3xy  3y 2  5  , 0 і обчислити її
значення в точці (3;1).
Розв’язання. Позначимо (xF , y )  x 2  3xy  2y 2  . 5
 F  F
Тоді  2 x 3 y,   3 x 6 y
x  y 
За формулою (2.13)

30