Page 27 - 430

Геометричне тлумачення диференціала полягає в тому,
що диференціал функції df(x,y) є приростом аплікати
дотичної площини до поверхні z=f(x,y) в точці P(x, y).
Сама дотична площина до поверхні z=f(x,y) в точці
P (x , y ) визначаються рівнянням
0 0 0
 f x (P 0 )(  xx 0 )  f y (  P 0 )(  yy 0 )  (  zz 0 )  0 (2.7)
Оскільки нормаль до поверхні –– це перпендикуляр до
дотичної площини в точці дотику, то рівняння нормалі буде
x  x y  y z  z
0 0 0 . (2.8)
 
f (  P ) f (  P )  1
x 0 y 0
Запис f  (P ) означає, що відповідну похідну треба
x 0
обчислити в точці (x , y ) .
0 0

2.4 Диференціювання складених функцій

Нехай z=f(u,v) і змінні u і v в свою чергу є
диференційованими функціями змінних х і у:
u  u (x , y ), v  v (x , ) y .
Тоді z  f (u (x ),v (x ))  f * (x , ) y – складена функція
змінних х і у.
Нехай усі похідні існують. Оскільки z  dz , то
f  f 
 z    u    v ( u  du , v  dv ).
u  v 
Зафіксуємо (yy  const ). Тоді
f  f 
 z    u    , v
x x x
u  v 

 z  f  u  f  v
x x x
    .
 x  u  x  v  x

26