Page 32 - 430

dy 2x  3y 2x  3y
   .
dx  3x  6y 3x  6y
Зокрема, в точці А (3;1)
dy 2 3  3 1 
  . 1
dx x  3 3 3  6 1 
y 1 
Приклад 2.9 Знайти частинну похідну по x неявної
функції z, заданої рівнянням z 3  xyz  y 2  4  . 0
Розв’язання. Функція F (x , y , z )  z 3  xyz  y 2  4
диференційована в будь-якій точці P (x,y,z).
2

Похідна F   F / z  3 z  xy неперервна в точці Р.
z

Маємо F   F / x   yz . Тоді за формулою (2.14)
x
z  F  yz yz
  x   
2
2
x  F 3z  xy 3z  xy .
z

2.6 Частинні похідні й диференціали вищих
порядків

Визначенні вище частинні похідні самі є функціями


двох змінних х і у: z  f (x , y ), z   (x , y ), z   (x , ) y , а
x y
тому також можуть мати частинні похідні. Якщо їх можна
диференціювати по х або у, тоді дістанемо похідні:
   f   2 f    f   2 f
    f xx ,        f yy ,  

 x   x  x  2 y   y   y  2

   f   2 f    f   2 f
    f xy ,         f yx ,  
 y   x   x y x   y    y x
або відповідно z  , z  , z  , z .  .
xx yy xy yx

31