Page 21 - 430

Лекція 2

Частинні похідні й диференціали функції кількох
змінних. Диференційованість функції

2.1 Приріст функції

Нехай функція z  f (x , ) y визначена в деякому околі
точки P (x , y ) . Надамо змінним x і y відповідно
0 0 0
приростів  x і  y , тобто перейдемо до точки

P (x   x , y   ) y . При цьому x і y такі, що точка P
0 0
належить околу точки P . Тоді величина
0
 z  f (x   x , y   ) y  f (x , y )  f (P )  f (P )
0 0 0 0 0
називається повним приростом функції в точці P .
0
z
Геометрично повний приріст функції  рівний
приросту аплікати графіка функції z  f (x , ) y при переході
з точки P (x , y ) в точку (xP   x , y   ) y .
0 0 0 0 0
Неперервність функції z  f (x , ) y у точці (x , y )
0 0
можна тепер означити так:
lim z  0 (2.1)
x  0
y  0
Ця умова рівносильна умові lim f (P )  f (P 0 ) або
P 0 P
lim f (x , ) y  f (x , y ) .
 x 0 0 0
 y 0
Якщо надати змінній x в точці P довільний приріст
0
 x , вважаючи y  const , тобто перейти на площині з точки
P (x , ) y в точку (xP   , x ) y , при цьому x таке, що точка
P (x  , x ) y належить околу точки P , то відповідна
0
20