Page 20 - 430

Теорема 1.2 Якщо функція z  f (P ) неперервна в
обмеженій замкненій області D, то вона в цій області:
1) обмежена: f ( P ) N ;
2) має найменше m і найбільше M значення;
3) набуває принаймні в одній точці будь-яке числове
значення, що міститься між m і M.
2
Наприклад, функція z  1 x  2 y , яка визначена і
неперервна, очевидно, в обмеженій замкненій області
x 2  y 2  1 (в крузі з центром в початку координат і
радіусом R=1) задовольняє цим умовам: 1) z  1; 2)

найменше значення функції m=0 функція набуває на межі
області, тобто в точках кола x 2  y 2  1; найбільше
значення M=1 – в початку координат O ) 0 , 0 ( ; 3) будь-яке
число, розміщене між m і M є деяким значенням функції.
Графіком функції, очевидно, є верхня півсфера з
центром в початку координат і радіусом R=1.

19