Page 15 - 430

між точками P і Р. В цьому випадку точка P є початком
0 0
2
2
координат, тому   x  y . Отже,
x 2  y 2  2  2   2  1   1
lim  lim  lim 
P P 2 2   0 2   0  2  1 1
0 x  y  1  1   1  1
 lim   2  1  1  2
  0
Зауважимо, що в даному прикладі функція
x 2  y 2
z  невизначена в точці P 0  0;0 , але має
x 2  y 2  1  1
границю при P  P .
0

2
x  y 2
Приклад 1.6 Функція z  визначена на всій
2
x  y 2
площині, крім початку координат. Покажемо, що при
P (x , ) y  ) 0 , 0 ( P функція немає границі. Справді,
приближаючись до початку координат по осі Ox , де y  0,
x 2  0
дістанемо lim z lim  1. Якщо ж приближатись до
x  0 x  0 x 2  0
початку координат по осі Oy (там x  0 ), то

0  y 2
lim z lim   1. Отже, при наближенні точки  yxP ; 
y  0 y  0 0  y 2
до точки  0;0P за різними напрямами функція має різні
0
граничні значення, а значить не має границі при
x  , 0 y  0 .
Означення границі функції трьох змінних тотожне
означенню границі функції двох змінних. Очевидно, що в
тривимірному просторі -околом точки P  , yx , z  є
0 0 0 0
14