Page 12 - 4299

Тоді система (4.1) буде еквівалентною такому матричному рівнянню:
A x  , b (3.2)

T
де x  ( x ,x , ,x )  вектор невідомих;
1 2 n
T
b  (b ,b , ,b )  вектор вільних членів системи.
1 2 n
Ідея методу Гауса полягає в приведенні матриці A до верхньої, (нижньої) трикутної
матриці у результаті чого система рівнянь (3.1) набуде також вигляду:
a x  a x   a x  b ,
11 1 12 2 1n n 1
a 1 ( ) x   a 1 ( ) x  b 1 ( ) ,
22 2 1n n 1
............................................
(3.3)
a n  2 x  a n  2 x  b ( n 2 ) ,
n 1,n 1 n 1 n 1,n n n 1
a n  1 x  b n  1 .
nn n n

Останнє рівняння системи (3.3) має тільки одне невідоме і його легко розв’язати
відносно x
n

b n  1
x  n .
n n  1
a
nn

Оскільки тепер x відомо, то його можна підставити в передостаннє рівняння і знайти
n

b n n  2  a n 1,n  2 x n
x  n .
n 1 n  2
a
n 1,n 1

Продовжуючи цей процес, на k тому етапі так званого зворотного ходу Гауса,

отримаємо

1  n 
x  b k  1   a k  1 x j  , k  n,n  1,..., 1. (3.4)
k k  k kj
 1
a
kk  j k 1  
Сума у формулі (3.4) за визначенням дорівнює нулеві, якщо нижній індекс суми більший
за верхній.
Тепер задача полягає у зведенні матриці A до діагонального вигляду. Це робиться
послідовним виключенням спочатку x із другого, третього ,…, n го рівнянь, потім x із
1 2
1
третього, …, n го рівнянь, x із k  , …, n го рівнянь і т. д.
k
a
На першому етапі перше рівняння помножимо на коефіцієнт  21 і додамо його до
a
11
a
другого рівняння; потім перше рівняння множимо на коефіцієнт  31 і додаємо до третього
a
11
a
рівняння і т.д.; на 1k  му кроці перше рівняння множимо на  1 k і додаємо до k того
a
11
рівняння.
Отже, після n 1 кроків отримаємо систему рівнянь:

11