Page 13 - 4299

a x  a x  a x   a x  b ,
11 1 12 2 13 3 1n n 1
a 1 ( ) x  a 1 ( ) x   a 1 ( ) x  b 1 ( ) ,
22 2 23 3 2n n 2
 (3.5)
a 1 ( ) x  a 1 ( ) x   a 1 ( ) x  b 1 ( ) ,
n 2 2 n 3 3 nn n n

яка буде еквівалентною (4.1).
Нові коефіцієнти системи (4.7) (з верхнім індексом «1») перераховуються за формулами:

a ij a
a 1 ( )  a  a , b 1 ( )  b  1 i , де , ji , 3 , 2 
ij ij 1 j i i
a 11 a 11

При цьому ми вважаємо, що a  0,оскільки система має єдиний розв’язок і не всі
11
коефіцієнти a ,  n , 1 дорівнюють нулю. Це означає, що завжди рівняння з ненульовим
i
i1
коефіцієнтом при змінній x можна поставити першим.
1
На другому етапі виключають змінну x із третього і наступних рівнянь, виконуючи
2
аналогічні операції, що і на першому етапі. У результаті отримують

a x  a x  a x   a x  b ,
11 1 12 2 13 3 1n n 1
a 1 ( ) x  a 1 ( ) x   a 1 ( ) x  b 1 ( ) ,
12 2 23 3 2n n 2
a ( 2 ) x   a ( 2 ) x  b ( 2 ) ,
33 3 3n n 3

a ( 2 ) x   a ( 2 ) x  b ( 2 ) ,
n 3 3 nn n n

a 1 ( ) a 1 ( )
де a ( 2 )  a 1 ( )  2 i a ,b ( 2 )  b 1 ( )  2 i b 1 ( ) .
ij ij 1 ( ) 2 j i i 1 ( ) 2
a a
22 22

Процес послідовного виключення змінних можна продовжити і на n  1 кроці
отримаємо систему рівнянь, у якій

k  1 k  1
a a
a   k  a k  1  ik a k  1 ,b   k  b k  1  ik b k  1 ,
ij ij k  1 kj i i k  1 k
a a
kk kk
1
k  1,n  , a   0  a , b   0  b . Нижні індекси i, j змінюються від k  1 до n .
ij ij i i
Розв’язок задачі.

Перший етап
Перше рівняння системи множимо на (-2) і додаємо його до другого рівняння

На наступному кроці перше рівняння множимо на (-4) і додаємо його до третього
рівняння

І нарешті перше рівняння множимо на 3 і додаємо його до четвертого рівняння
12