Page 47 - 4269

Аналітична геометрія Декарта та Ферма розглядала тільки задачі на площині.
Дослідження кривих у ній порядку вище другого було тільки епізодичним. По-
справжньому новий крок у розвитку аналітичної геометрії було зроблено на початку
XVIII ст. у праці Ньютона «Перелік кривих третього порядку» (1704). Ньютон зробив
класифікацію кривих за степенями їх рівнянь в декартових координатах. Таким чином,
порядок кривої у цій класифікації отримав геометричне трактування у вигляді можливого
числа точок її перетину з прямою. Потім Ньютон переніс на криві третього порядку ряд
понять та теорем, доведених для конічних перерізів.

Види кривих визначені Ньютоном із врахуванням скінченних гілок кривих, наявності
чи відсутності діаметрів та за деякими іншими характеристиками. Всього виявилось 72
виду кривих, кожному з яких Ньютон дав назву.

У цій праці Ньютона не було ні строгих доведень, ні достатньо узагальнюючих
результатів. Проте в ній Ньютон розкрив у повній мірі можливості методу координат та
значно його удосконалив. Ці можливості були розвинені Стірлінгом у його книзі
«Ньютонові криві третього порядку». Стірлінг довів теореми Ньютона про криві третього
порядку, а також вивів ряд узагальнюючих теорем. Загальними властивостями
алгебраїчних кривих успішно займалися також Маклорен, Ф. Ніколь, Мопертьюї,
Брекенрідж та ін.

Систематичне використання просторових координат в аналітичній геометрії (що
здається таким очевидним у нас час), було розпочато у праці Клеро «Дослідження кривих
двоякої кривизни» (1731). Книга Клеро створила можливості для систематичної побудови
аналітичної геометрії у звичній для нас формі. Це було зроблено Ейлером близько 1748 р.

Аналітична геометрія у першій половині XVIII ст. формувалася у тісному зв’язку із
застосуваннями математичного аналізу. Вона була в той час фундаментом для великої
галузі математичних знань. Тому Ейлер, коли робив спробу систематичної побудови
математичного аналізу, виділив для аналітичної геометрії спеціальний том у ряді своїх
монографій («Введення у аналіз…», т. 2). Значення цього твору в історії аналітичної
геометрії виявилося надзвичайно великим. Аналітична геометрія перетворилася завдяки
працям Ейлера у окрему науку, предмет і методи якої вже визначилися у об’ємі,
близькому до сучасного.

З другої половини XVIII ст. аналітичну геометрію почали вводити в програми вищих
навчальних закладів. З’явився підручник Лакруа, в якому аналітична геометрія
викладалася систематично і у стилі, близькому до сучасності (1798 – 1799). Він багато
разів перевидавався: 25-те видання, наприклад, вийшло в світ у 1897 р. з додатками
Ерміта.

Таким чином, у XVIII ст. було завершено формування аналітичної геометрії як науки і
становлення її як навчальної дисципліни, що є тепер складовою частиною класичної
основи вищої математичної та технічної освіти.

4.5.3 Основи геометрії

До цієї галузі геометрії належать ті дослідження і результати, в яких досліджується
обґрунтованість вибору вихідних понять, дається аналіз систем аксіом, що покладені в
основу геометричних теорій. При цьому розкриваються як внутрішньо математичні
зв’язки геометрії, так і її зв’язки з іншими науками.

Дослідження з основ геометрії у XVIII ст. – це переважно дослідження з основ
евклідової геометрії. Головним змістом наукових досліджень був критичний аналіз

47