Page 45 - 4269

Диференціальна геометрія безпосередньо використовує методи математичного
аналізу, особливо диференціального числення. Вже до початку XVIII ст. засобами аналізу
нескінченно малих було досліджено багато фактів теорії плоских кривих. Проте на
початку це не привело до виділення особливої науки. Всі результати ще входили в
систему математичного аналізу і складали сукупність геометричних застосувань аналізу з
використанням функції від однієї змінної.

Наступний етап розвитку диференціальної геометрії пов'язаний з використанням
методів вивчення просторових кривих та поверхонь. Необхідною умовою для цього було
поширення засобів аналітичної геометрії на трьохвимірні задачі. Вперше дослідження
таких просторових задач було зроблено в праці Клеро «Дослідження кривих двоякої
кривизни». В цілому ця праця була присвячена просторовій аналітичній геометрії, проте
ряд задач у ній було розв’язано з допомогою диференціального та інтегрального числення.
Клеро розглянув дотичні та нормалі для просторових кривих, ввід дотичну площину до
поверхні та багато іншого. Після цієї праці протягом майже п’ятдесяти років у
диференціальній геометрії не було зроблено нічого принципово нового. Сам Клеро
успішно застосовував відкриті ним диференціально-геометричні факти для практичних
задач у геодезії та картографії. Взявши участь у 1733 р. в геодезичній експедиції у
Лапландію, Клеро довів, що вздовж геодезичної лінії на поверхні добуток радіуса паралелі
(тобто круга, перпендикулярного до осі обертання) на синус кута між паралеллю та
меридіаном є сталий:

Проте в застосуваннях геометрії у геодезії та картографії домінували в той час праці
Ейлера. Серію своїх досліджень у цій галузі Ейлер почав з вивчення геодезичних ліній на
поверхнях (1728 – 1732 рр.). Він вивів диференціальне рівняння геодезичної лінії на
поверхні, заданої рівнянням у вигляді

Ейлер розглянув також ряд питань, пов’язаних з
геометричними лініями на поверхнях обертання. Так, наприклад, у 1736 р. Ейлер довів,
що точка, яка рухається на поверхні при відсутності активних сил, переміщується по
геодезичній лінії. У тому ж році Ейлер ввів натуральне рівняння плоскої кривої і пов’язав
його з рівнянням кривої у декартових координатах. У подальшому ці дослідження
привели Ейлера, з одного боку, до створення варіаційного числення, а з другого боку – до
досліджень із загальної теорії кривих та поверхонь.

У 70-х роках XVIII ст. Ейлер почав займатися теорією поверхонь, що розгортаються
та вигинаються. Тут також було досягнуто видатних результатів. Роботу Ейлера в цьому
напрямку продовжили ряд учених – Монж, Лагранж, Ламберт, Меньє. Було отримано
значну кількість конкретних практичних результатів, що знаходили застосування у
геодезії та картографії. Проте у цих геометричних дослідженнях використовувався
складний математичний апарат, що почало гальмувати подальшу роботу вчених. Нові
підходи в диференціальній геометрії, з більшим залученням геометричних міркувань, а
також ширшого використання теорії диференціальних рівнянь, розпочався у кінці
XVIII ст. у працях Г. Монжа (1746 – 1818) та його учнів. У працях у першу чергу самого
Монжа було проведено широке і повне дослідження просторових кривих та поверхонь,
введено розгортання поверхонь, дослідження еволюти, огинаючої кривої та ін. Монж
створив нову класифікацію поверхонь. У цій класифікації були враховані потреби
практики, а також потреби вищої технічної освіти, яка швидко розвивалася у Франції,
особливо після Великої Французької революції.

Новий етап розвитку диференціальної геометрії настав уже у ХІХ ст., починаючи від
праць Гаусса про внутрішню геометрію поверхонь.

45