Page 43 - 4269

рівняння з частинними похідними другого порядку склали особливий багаточисельний
клас рівнянь XVIII ст. Рівняння з частинними похідними більш високого порядку у XVIII
ст. досліджувались тільки епізодично.

4.4. Створення варіаційного числення

У творі «Інтегральне числення» Ейлер виклав також всі відомі на той час дані про
варіаційне числення. Варіаційне числення – один із найважливіших розділів сучасного
математичного аналізу. В даний час варіаційне числення вважається складовою
функціонального аналізу, але воно тісно пов’язане з багатьма математичними науками.
Варіаційні методи тепер проникли в різні галузі математики, механіки, фізики, техніки.
Варіаційне числення виникло у XVIII столітті. В працях Ейлера та Лагранжа воно
отримало вигляд стрункої та послідовної математичної теорії. Нове числення зразу довело
свою практичну корисність, тому що з використанням його методів з’явилась можливість
розв’язання значної кількості механічних, фізичних та технічних задач. Виникнення
варіаційного числення та його виокремлення в самостійну математичну дисципліну, що
досліджує загальні методи знаходження екстремумів функціоналів, було обумовлено
необхідністю розв’язання особливого класу так званих екстремальних задач практичного
характеру. Такі задачі отримали назву варіаційних.

В історії математики задачі варіаційного типу були сформульовані дуже давно. Ці
задачі розв’язувались індивідуальними способами, і якогось загального методу чи
спеціального числення для їх розв’язання ще не існувало. Але до кінця XVII ст. було
виокремлено в особливий клас екстремальні задачі, які не вдавалось розв’язати методами
тільки що створеного математичного аналізу. Це, наприклад, задача про брахістохрону
(криву найшвидшого спуску – 1696 р.), ізопериметрична задача (знайти фігуру, що має
найбільшу площу при сталому периметрі – 1697 р.), задача про геодезичні лінії
(найкоротші лінії, що з’єднують дві дані точки) на поверхнях (1697 р.) та ін. Задача про
брахістохрону була вперше розв’язана Й. Бернуллі, а потім Ньютоном, Лейбніцем та
Я. Бернуллі. При розв’язуванні задач такого типу все більше виявлялися спільні риси, що
надавало можливості для створення спільного метода.

Перший загальний метод розв’язування варіаційних задач було вироблено в працях
Ейлера 1726 – 1744 років. Ейлер проводить класифікацію задач, де відшукуються, за його
словами, криві, що мають екстремальну властивість. Об’єктами дослідження, як тепер

говорять, функціоналів, у Ейлера є інтеграли виду Досліджується, для якої
кривої (тобто функції) даний інтеграл досягає екстремального (як правило, мінімального)
значення. Дослідження екстремуму такого інтегралу привело Ейлера до потреби
розв’язування знаменитого рівняння, що носить тепер його ім’я:

Ейлер узагальнив свій метод і на дослідження екстремумів інтегралів виду

де Ейлер навів велику кількість прикладів
(більше 60), що ілюстрували можливості нового методу. Ейлер установив тісні зв’язки
нового методу з задачами механіки та фізики. Проте у метода Ейлера існував недолік –
його громіздкість, відсутність зручного алгоритму для практичних обчислень.

Ситуація почала змінюватись із 1755 р., коли зовсім молодий викладач математики в
артилерійській школі м. Турина повідомив Ейлера про створення ним загального

43