Page 42 - 4269

До речі, в теоретичній механіці подібна задача ( знаходження мінімуму інтеграла дії
Гамільтона) приводить до аналогічних рівнянь, які називають рівняннями Лагранжа ІІ
роду. Нелінійне рівняння другого порядку виникає і в задачі про знаходження
геодезичних ліній на поверхнях. До рівнянь того ж типу зводяться розв’язки рівнянь руху
точки з опором.

Складність проблеми розв’язування рівнянь і неможливість інтегрування їх у
скінченному вигляді привели до появи третього великого напрямку в теорії
диференціальних рівнянь – наближені методи розв’язування. Класичний метод ламаних,
який тепер широко використовується у теоремах про існування і єдиність розв’язку

рівняння з початковими умовами , був створений та
опублікований Ейлером у 1768 р. Задачі небесної механіки були першими, де
застосовувалися методи наближеного інтегрування.

Геометричні застосування теорії звичайних диференціальних рівнянь, що
виокремилися в спеціальну галузь математики – диференціальну геометрію, залишили
слід і в теорії самих рівнянь. Вивчення властивостей сімейств інтегральних кривих,
розв’язування задач про знаходження огинаючих кривих, а також ізогональних
траєкторій, а потім перенесення всіх результатів на сімейства поверхонь – таким був
шлях досліджень в четвертому напрямку. Значення цього дослідження зросло, коли
першочерговими стали проблеми існування і єдиності розв’язків диференціальних
рівнянь.

Під час розробки методів розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку
виявились методи їх розв’язання, взаємовідношення між цими методами, а також виникла
термінологія, яка в цілому збереглася до нашого часу. Цей процес був остаточно
завершений у працях Лагранжа 1774 та 1776 років. Так як розв’язування диференціальних
рівнянь не завжди зводиться до квадратур, Лагранж ввів різні терміни: розв’язок рівняння
та його інтеграл.

Диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку виникали в
основному при розв’язуванні фізичних задач. В першу чергу треба вказати на задачу про
коливання струни, про яку вже раніше згадувалося. Ця задача зводиться до рівняння

Біля 1760 р. Ейлер при дослідженні проблем гідродинаміки вивів рівняння об’ємного
розширення рідини:

Для цього рівняння Ейлер знайшов частинний розв’язок, а в одному випадку (коли рух
здійснюється в напрямку до нерухомого центра, при цьому швидкості на поверхнях
відповідних сфер однакові) – загальний інтеграл. Задачу про коливання мембрани Ейлер в
60-х роках XVIII ст. звів до рівняння

Задачі про коливання газу в трубах різних профілів, задачі теорії потенціалу та інші
також приводили до рівнянь з частинними похідними другого порядку. Диференціальні

42