Page 46 - 4269

4.5.2 Розвиток нарисної, проективної та аналітичної геометрії

Методи нарисної геометрії формувалися в галузі технічних застосувань математики.
Деякі факти вчення про перспективу були відомі з давніх часів. Ці факти склали основу
для створення того розділу геометрії, в якому просторові образи вивчаються з допомогою
відображень на площину. Метод координат для побудови перспективи і відповідні
початки аксонометричного проектування вперше застосував Дезарг у 1636 р.

Формування нарисної геометрії у спеціальну математичну дисципліну завершилося у
працях Монжа. З 1795 р. Монж читав у Політехнічній школі лекції про ортогональне
проектування на площині. У 1798 – 1799 рр. він надрукував уже повністю розроблений
курс нарисної геометрії. У цьому курсі вже систематично подається відображення
просторових фігур з допомогою двох ортогональних проекцій на дві взаємно
перпендикулярні координатні площини.

Викладення матеріалу у Монжа не було елементарним. Він розглянув ряд нових і
важких задач. Наприклад, він дослідив поверхні з ребром повернення, геодезичні поверхні
та лінії найбільшого скату на них, поверхні рівного скату і т. ін.

Вплив праць Монжа та близьких до них по змісту підручників Лакруа було тривалим.
Їх твори протягом ХІХ ст.. перевидавалися багато разів. Удосконалення та розробка
різних способів проектування склали основний зміст праць з нарисної геометрії у
подальшому. Ця галузь геометрії з часів Монжа міцно увійшла в коло математичних
дисциплін, що входять у систему вищої технічної освіти.

Теоретичний аспект технічної перспективи і більш загальне розуміння останньої як
одного з видів проективних перетворень були розроблені ще Дезаргом. Ідея вивчення
проективних властивостей геометричних об’єктів виникла в якості нового підходу до
важкої античної теорії конічних перерізів з метою її спростити та узагальнити. Праці
Дезарга, а також твір Паскаля «Нарис про конічні перерізи» (1644 р.) містять чудові
розв’язки цієї проблеми і є основою для нової геометричної науки – проективної
геометрії. Центральна проекція у ній збагатилася новими об’єктами – нескінченно
віддаленими елементами. Крім того, Дезарг відкрив багато теорем про полюси та поляри
конічних перерізів. Дуже плідним виявилося і поняття інволюції. Проективні та
інволюторні властивості конічних перерізів склали цілу теорію. Серед багатьох теорем
цієї теорії основними є теореми, названі на честь їх авторів – Дезарга та Паскаля.

На жаль, небагато вчених у той час зацікавилося ідеями Дезарга та Паскаля. Головний
вектор роботи математиків у той час був направлений у інший бік – створення та
застосування математичного аналізу. Тому тільки систематична побудова нарисної
геометрії, яку проробив Монж до кінця XVIII ст., стала основою для побудови
проективної геометрії. Вже в ХІХ ст.. Л. Карно (1753 – 1823), Ж. Понселе (1788 – 1867),
К. Штаудт (1798 – 1867) та ін. завершили теоретичну побудову та оформлення нової
галузі геометрії.

У XVIII ст. успішно продовжувала розвиватися і остаточно оформилася у окрему
математичну галузь аналітична геометрія. Для аналітичної геометрії характерно
використання методів алгебри та координатного метода. Декарт і Ферма своїми
засадничими працями у першій половині XVII ст. відкрили всі можливості для розвитку
аналітичної геометрії. Але тільки майже через століття в аналітичній геометрії були
отримані важливі результати, які вже перевершили досягнення стародавніх учених,
особливо Аполлонія.

46