Page 44 - 4269

аналітичного методу обчислення варіації інтеграла шляхом інтегрування частинами. Цей
метод ґрунтувався на введенні варіації функції та на поширенні на ці варіації правил
диференціального числення. Між варіаціями і приростом функціонала в
варіаційному численні, з одного боку, та диференціалом незалежної змінної dx та
диференціалом функції у диференціальному численні, з другого боку, існує
аналогія. Цю аналогію і винайшов Лагранж. Вона дала можливість Лагранжу застосувати
в варіаційному численні алгоритми, аналогічні алгоритмам диференціального числення.
Лагранж довів можливість перестановки у варіаційному численні символів

Ейлер, який сам був дуже близький до подібного відкриття, з ентузіазмом зустрів
повідомлення молодого Лагранжа. Більше того, щоб надати можливість Лагранжу
першому опублікувати свої результати, Ейлер призупинив публікацію своїх статей на
дану тематику. Лагранж опублікував результати своїх досліджень у 1762 р. Після 1762 р.
Ейлер у ряді своїх праць надав удосконалений та проілюстрований прикладами виклад
нового числення. Сам Ейлер і придумав йому назву – варіаційне числення. В кінці
XVIII ст. з’явилися нові дослідження Ейлера, Лагранжа та інших учених. Варіаційне
числення при цьому досить швидко набуло завершеної форми у своїй елементарній
частині, пов’язаній з теорією першої варіації. Проте залишалася нерозв’язаною задача:
який саме тип екстремуму (максимум чи мінімум) досягався на даному функціоналі.
Лагранж припустив, по аналогії з диференціальним численням, можливість застосування
другої варіації функціоналу для розв’язання цього питання.

Дійсно, нехай задано функціонал: Якщо то
знак співпадає зі знаком (при достатньо малих варіаціях функцій та їх похідних).
У 1786 р. Лежандр зумів привести другу варіацію до вигляду, з якого випливало, що її

знак залежить від знаку Це привело його до так званої умови Лежандра: для того,
щоб на екстремалі досягався максимум (відповідно мінімум), необхідно, щоб вздовж

екстремалі (відповідно Ця умова виявилася і достатньою для так званого
слабого екстремуму, що довів К.Якобі у 1837 р. при певних умовах на екстремалі. Про
дальший розвиток варіаційного числення піде мова у наступному розділі.

4.5. Розвиток геометрії

Принципові відкриття, зроблені в геометрії протягом XVII ст. (в першу чергу
створення аналітичної геометрії), визначили для цієї науки у XVIII ст. якісно новий
характер розвитку. У складі геометрії з’явилися нові дисципліни. Мова йде про
диференціальну, нарисну та проективну геометрію, також з’явилися праці по основах
геометрії (в наступному столітті вони приведуть до створення неевклідових геометрій).
Всі геометричні дисципліни, що були створені у XVIII ст., мали загальні риси: розвиток на
основі геометрії Евкліда, а також безпосередній вплив на ці математичні розділи
практичних задач. Серед різноманітних задач і методів геометрії велике значення мали
геометричні застосування математичного аналізу. Саме з цих задач виникла і розвинулася
диференціальна геометрія – наука, що займала провідну роль в системі геометричних
дисциплін у XVIII ст.

4.5.1. Створення диференціальної геометрії

44