Page 41 - 4269

рівнянь з частинними похідними розв’язав Д’Аламбер, у тому числі і рівняння коливання
струни.

У 1743 р. у працях Ейлера з’явилося поняття загального і частинного інтегралів. У
своїх працях Ейлер розглянув і особливі розв’язки цілого ряду диференціальних рівнянь.
Поняття особливого розв’язку вперше з’явилося у праці Б. Тейлора в 1715 р. Далі воно

зустрічається у працях Клеро, який розглянув (у 1736 р.) рівняння
Тільки у 1774 – 1776 рр. Лагранж зумів детально дослідити, як отримуються особливі
розв’язки. Він же подав геометричну інтерпретацію особливого розв’язку як огинаючої
сімейства інтегральних кривих. Систематичне і єдине подання всіх відомостей про
особливі розв’язки наведено у праці Лагранжа «Лекції про числення функцій».

Перша систематична спроба загальної теорії диференціальних рівнянь викладена
Ейлером у творі «Інтегральне числення». Теорія диференціальних рівнянь – як загальних,
так і рівнянь з частинними похідними, – є основним змістом цього видатного твору.
Ейлер вперше дав чітку класифікацію всіх відомих диференціальних рівнянь і
систематично виклав методи їх розв’язування. Значну кількість цих методів знайшов сам
Ейлер. Таким чином, теорія будувалась як сукупність методів розв’язування рівнянь, а ці
останні розглядалися разом з фізичною задачею, яка їх породила. При такому стані теорії
диференціальних рівнянь ще не з’явилася потреба про теореми існування та єдиності
розв’язку. Ці питання стали нагальними для математики вже в пізнішому періоді.

У XVIII ст. склалися основні напрямки з теорії звичайних диференціальних рівнянь.
Ці напрямки формувалися, як правило, в результаті потреб розв’язування деякої
прикладної задачі. Першим напрямком був розвиток теорії лінійних диференціальних
рівнянь, головним чином другого порядку, а також їх систем як із сталими, так і зі
змінними коефіцієнтами. До такого роду рівнянь зводилися задачі про малі коливання
матеріальних точок та систем матеріальних точок із скінченним числом степенів
вільностей. Прикладом подібних задач є задачі, що походять від конструювання
маятникових годинників та застосування маятникових механізмів для гравіметричних
досліджень. Перехід від коливань точки до коливань систем точок потягло за собою
розширення задачі на випадок нескінченного числа степенів вільності: це задачі про
коливання струни, стовпа повітря та інші.

Проблеми аналітичної динаміки точки і систем точок висунуло другим головним
напрямком теорії диференціальних рівнянь розвиток методів розв’язування нелінійних
рівнянь першого і другого порядків та їх систем. Рух твердого тіла навколо нерухомої
точки виражається нелінійною системою трьох лінійних рівнянь другого порядку
відносно так званих кутів Ейлера, що є функціями від часу. Рух
центра мас планети в сонячній системі виражається розв’язком квазілінійної системи

Квазілінійним у загальному випадку є і рівняння Ейлера, що появляється у
варіаційному численні при розв’язуванні задачі про екстремум функціонала

Место для формулы.

41