Page 40 - 4269

Проте всі ці методи розв’язування диференціальних рівнянь ще не були
систематизовані, а кількість задач, що зводилися до диференціальних рівнянь, постійно
зростала. По суті всі прикладні задачі аналізу, що були відомі на той час, вимагали
розв’язування багаточисельних та різноманітних диференціальних рівнянь. Кожне з цих
рівнянь випливало з конкретної задачі математичного природознавства.

Питання загальної теорії у першій половині XVIII ст. ще не могли бути поставлені по
причині недостатньої вивченості самих диференціальних рівнянь, їх основних типів та
особливостей. Тому математики того часу пішли шляхом кропіткої роботи по
знаходженню методів розв’язування рівнянь якнайширших класів. Кількість праць і
конкретних результатів, отриманих математиками цього періоду, є дуже значною.
Зазначимо деякі найважливіші результати цього часу.

У 1724 р. італійський математик Я. Ріккаті видав різностороннє дослідження рівняння,
яке пізніше (1769 р., за пропозицією Д’Аламбера) було названо рівнянням Ріккаті. Мова
йде про інтегрованість в елементарних функціях нелінійного диференціального рівняння

Дослідженням рівняння Ріккаті займалися багато математиків: Лейбніц,
Х. Гольдбах, Я. Бернуллі, Н. Бернуллі, Д. Бернуллі та інші. Ці дослідження привели з
часом до плідних результатів в теорії диференціальних рівнянь. Наприклад, Ейлер
застосував для розв’язування цього рівняння теорію рядів. Одночасно він розглядає

загальне рівняння Ріккаті:
неперервні функції, частинними випадками якого є і рівняння Бернуллі (при і
лінійне диференціальне рівняння першого порядку (при

У 1743 р. Ейлер оприлюднив метод розв’язування лінійного однорідного
диференціального рівняння будь-якого порядку із сталими коефіцієнтами з допомогою
підстановки а у випадку кратних дійсних коренів характеристичного рівняння –
підстановки У випадку наявності пари комплексних коренів підстановка

цього ж типу приводить задачу до рівняння яке Ейлер
розв’язав з допомогою тригонометричного ряду. Через декілька років (у 1753 р.) Ейлер

застосував множник для пониження порядку рівняння , і
потім знайшов загальний розв’язок цього рівняння.

Д’Аламбер у 1766 р. показав, що загальний розв’язок неоднорідного лінійного
рівняння дорівнює сумі деякого його частинного розв’язку і загального розв’язку
відповідного однорідного рівняння.

З ініціативи Ейлера в 30-х рр. XVIII ст. склалося переконання, що для інтегрування
диференціальних рівнянь навіть, здавалося би, простих класів вже недостатньо множини
елементарних функцій. В зв’язку з цим і почалися швидко розвиватися методи
спеціальних функцій.

Поруч із звичайними диференціальними рівняннями були знайдені розв’язки і окремих
рівнянь з частинними похідними. Вже у 1735 р. Ейлер, коли займався різними задачами

про траєкторії, прийшов до рівнянь а також до рівнянь які він
розв’язав, застосувавши метод інтегруючого множника. Декілька диференціальних

40