Page 39 - 4269

Через цей інтеграл всі інтеграли такого типу і отримали свою назву. Еліптичні
інтеграли застосовувались багатьма математиками XVIII ст. для обчислення довжин дуг
різноманітних кривих. Теорія еліптичних інтегралів була побудована вже в ХІХ ст..
зусиллями Абеля, Якобі, Гаусса, Ліувілля та інших математиків.

Взагалі, вище зазначені спеціальні функції мають загальне джерело походження –
інтеграли, що не виражаються через елементарні функції. Інший основний клас
спеціальних функцій з’являється при розв’язуванні лінійних диференціальних рівнянь із
змінними коефіцієнтами (функції Бесселя, функції Ламе, циліндричні та ін).

При обчисленні ряду важких інтегралів був застосований метод комплексних
підстановок (Ейлер, Д’Аламбер), що в майбутньому пов’язало інтегральне числення з
теорією функцій комплексної змінної.

Таким чином, протягом XVIII ст. в інтегральному численні сформувалася сукупність
методів, наближена до його теперішнього стану. Інтегральне числення дало початок
новим розділам математичного аналізу, таким, наприклад, як теорія спеціальних функцій.
Інтегральне числення також явилося одним з джерел створення теорії аналітичних
функцій. У XVIII ст. також з’явився ряд задач спеціального характеру, в першу чергу
диференціальні рівняння та варіаційне числення. Ці задачі привели до створення
самостійних математичних галузей, які також належать до структури математичного
аналізу.

4.3. Розквіт методів розв’язування диференціальних рівнянь

Перед творцями математичного аналізу задача інтегрування диференціальних рівнянь
спочатку виглядала як частина більш загальної задачі: оберненої задачі аналізу
нескінченно малих. Природно, увага математиків спочатку зосередилась на методах
розв’язування рівнянь першого порядку. Їх розв’язки розшукувались у вигляді
алгебраїчних або елементарних трансцендентних функцій з допомогою певних вдало
підібраних прийомів. Кожну задачу розв’язування диференціального рівняння творці
аналізу прагнули звести до методу відокремлювання змінних. Цим методом, який був
історично першим, у наш час починаються всі курси теорії диференціальних рівнянь.

У 1692 р. Й. Бернуллі знайшов інший метод, застосувавши в ряді задач множення на
інтегруючий множник. Поступово стало зрозумілим, що метод інтегруючого множника
можна вважати загальним методом розв’язування рівнянь типу

Проте в цілому цей метод важко реалізовується по причині складності підбору
інтегруючого множника.

Арсенал прийомів розв’язування диференціальних рівнянь містив також метод
підстановок (заміни змінних). Лейбніц (1693), а пізніше Й. Бернуллі з допомогою
підстановки розв’язували однорідні рівняння першого порядку. Рівняння
Й. Бернуллі у вигляді було з допомогою підстановки
перетворено (Лейбніц 1693 р., Й.Бернуллі 1697 р.) в лінійне диференціальне
рівняння першого порядку. При розв’язуванні цього рівняння Й. Бернуллі застосував
метод, який у 1775 р. Лагранж доповнив і розвинув у метод варіації сталих.

39