Page 38 - 4269

Ці галузі математичного аналізу поступово відокремлювались від нього протягом
XVIII ст. Інтегральне числення в такій загальній постановці швидко набуло надзвичайно
великого об’єму. Ейлеру знадобилося у 1768 – 70 рр. три великих томи, щоб дати
систематичне викладення інтегрального числення. Згідно Ейлера, який висловлював
загальноприйняту точку зору, інтегральне числення було методом знаходження по даному
співвідношенню між диференціалами співвідношення між кількостями. Операція, якою це
досягалося, і називалася інтегруванням.

Задача побудови інтегрального числення функцій однієї змінної була розв’язана в
цілому протягом першої половини XVIII ст. в першу чергу завдяки зусиллям Й. Бернуллі
та Ейлера. Формування сукупності методів знаходження первісних функцій
супроводжувалось виробленням загальних понять інтегрального числення і відповідної
зручної символіки. Ейлер ввів цілу систему визначень, пов’язаних з інтегралами. Проте в
прикладних питаннях (у випадку, коли первісна не є елементарною функцією) і у
відповідних наближених обчисленнях визначене інтегрування вводилося як
підсумовування в сенсі, аналогічному сучасному. Символ визначеного інтегрування також

було знайдено не відразу. Символ Ейлера отримав з 1779 р. за
пропозицією Лапласа термін «визначений інтеграл». Звичний і такий природній

теперішній символ був введений Фур’є тільки у 1819 – 22 р.р.

Паралельно з розвитком інтегрального числення виникли узагальнення операції

інтегрування. У 1743 р. Клеро ввів криволінійні інтеграли взяті вздовж
кривої. У 1770 р. Ейлер ввів подвійні інтеграли. Лагранж у 1772 р. при розв’язуванні
задачі про притягання еліпсоїда обертання ввів у математику потрійні інтеграли.

Обчислення інтегралів спеціальних видів привело до відкриття ряду фактів теорії
спеціальних функцій. Одними з перших було відкриття ейлерових інтегралів І і ІІ роду,

тобто відповідно бета-функції (1730 – 31 рр.) і гамма-

функції (1729 – 30 рр.). Якщо а – натуральне число, то, як довів

Ейлер, із цього випливає загальне визначення факторіала: У випадку

бета-функції при натуральних a i b отримується: .

Важливим також є «інтегральний логарифм»: Цей інтеграл
набув великого значення в аналітичній теорії чисел, наприклад, при дослідженні
проблеми розподілення простих чисел у натуральному ряді. Ейлер розвинув інтегральний

логарифм у ряд: де с – стала Ейлера,
с=0,577215… . До речі, арифметична природа цієї константи і в наш час не до кінця
зрозуміла.

Клас спеціальних функцій включав також у себе еліптичні функції. Однією з

еліптичних функцій є інтеграл (інтеграл ІІ роду у формі Лежандра),
через який виражається довжина дуги еліпса:
38