Page 37 - 4269

математики: Д. Бернуллі (1753) для розв’язування задачі коливання струни, Д’Аламбер
для задач математичної фізики, Клеро (1754) для задач небесної механіки. Лаплас (1782) і
Лежандр (1783) розв’язали задачу про силу тяжіння еліпсоїдного тіла, застосувавши
розвинення у ряди за сферичними функціями.

Математичний апарат у XVIII ст. збагатився потужним і різноманітним апаратом
розвинення функцій у ряди різних видів. Цей апарат був створений під безпосереднім
впливом задач математичної фізики. Під час розробки цього апарату поступово були
підняті проблеми вивчення загальних властивостей рядів, головним чином питання
збіжності. Без вирішення цієї проблеми регулярне застосування апарату рядів було
необґрунтованим і викликало сумніви. Побудова достатньо загальної і строгої теорії рядів
стала в кінці XVIII ст. першочерговою проблемою, від якої залежали практичні успіхи
математичного аналізу.

Правила диференціювання в переважній більшості були розроблені ще в працях
Лейбніца та братів Бернуллі. Поширення цих правил на нові класи досліджуваних функцій
вже не містило принципових труднощів. Таким чином були отримані аналітичні вирази
для похідних логарифмічних, показникових та інших функцій. Накопичення нових фактів
у диференціальному численні відбувалося швидко. У «Диференціальному численні»
(1755) Ейлера це числення подається вже в досить повному вигляді. Наприклад, теорема
про незалежність значення частинних похідних від порядку диференціювання була відома
ще з початку століття. Ейлер дав їй доведення, при цьому поширив результат теореми на
частинні похідні вищих порядків. Ейлер також довів, що де

частинні похідні задовольняють умові . Для функції трьох змінних і її
повного диференціалу Ейлер довів умови:

Іменем Ейлера названі також і формули диференціювання складених функцій, теорема
про однорідні функції та багато інших.

Правила знаходження екстремумів функції однієї змінної відкрив Маклорен.
Ейлер розробив це питання для функції двох змінних. Лагранж дослідив питання
знаходження умовного екстремуму для функцій багатьох змінних, а потім застосував для
дослідження цих функцій метод невизначених множників, що тепер носить його ім’я.

Питання про невизначеності типу дослідив Ейлер.

Диференціальне числення протягом XVIII ст. накопичило майже всі факти, що
характеризують його сучасну структуру. Був розроблений потужний апарат подання
функцій рядами, який набув достатньо розвиненої аналітичної форми. Проте з’явилися
нові проблеми, пов’язані з обґрунтуванням дій з рядами: підсумовування рядів,
розвинення функцій у ряди різних типів, умови диференціювання та інтегрування рядів та
ін.
Творці математичного аналізу побудували інтегральне числення, коли розглядали
обернені задачі диференціального числення. Інтегрування спочатку практично зводилось
до знаходження первісних. Проте вже у Лейбніца питання розглядалося складніше:
інтеграл з’явився спочатку як визначений, як сума нескінченно великої кількості
нескінченно малих диференціалів. Інтегральне числення спочатку вміщувало в собі і
теорію диференціальних рівнянь, варіаційне числення, теорію спеціальних функцій і т. ін.

37