Page 36 - 4269

Ейлер виводить також відомі формули: . Крім
розвинення функцій у степеневі ряди Ейлер розробив також метод подання функцій
нескінченними добутками, наприклад:

,

.

Для потреб інтегрального числення були зібрані методи подання функції у вигляді
суми елементарних дробів. Було відкрито також багато фактів з майбутньої теорії функцій
комплексної змінної. Наприклад, Д’Аламбер і Ейлер у своїх працях з гідродинаміки
показали, що ці функції мають вигляд і що дійсна та уявна частина таких

функцій задовольняють таким умовам: Тепер ці умови більш
традиційно називають умовами Коші – Рімана, хоча вірніше їх було назвати умовами
Д’Аламбера – Ейлера.

Поштовхом до питання визначення функції у більш загальному вигляді, ніж тільки у
вигляді степеневого ряду, стали задачі математичної фізики, особливо задача про
коливання струни. Цій принципово важливій задачі надавали значної уваги ще у XVII ст.
багато вчених: Галілей, Мерсенн, Декарт, Гюйгенс та ін. У 1715 р. Б. Тейлор вивів

рівняння коливання струни, яке в сучасних позначеннях має вигляд: Після
цього Д’Аламбер вивів свою відому формулу функції, що описує коливання струни. Але,
як зауважив Ейлер, хоча функції, що описують початкову форму і початковий стан струни
повинні бути неперервними із фізичних міркувань (або зв’язними, за Ейлером), функції,
що входять у розв’язок Д’Аламбера, не обов’язково повинні бути неперервними. Таким
чином, навколо проблеми визначення природи функції знову почалися дебати серед
учених, що продовжувалися майже 50 років. Серед багатьох проблем, зв’язаних з
природою функцій, довгий час нерозв’язаною залишалася стара проблема: чи є зв’язні
лінії, що накреслені вільним рухом руки, неперервними (по тодішнім уявленням), тобто
такими, що виражаються аналітично. Розв’язати цю проблему виявилося можливим, якщо
розширити засоби, якими функцію можна аналітично виразити. Шлях розв’язання цієї
проблеми намітився у кінці XVIII ст. після введення в математику апарату
тригонометричних рядів. З’явилася нова задача: з’ясувати обсяг функцій, що подаються у
вигляді тригонометричних рядів. Ця задача остаточно була розв’язана вже в новому ХІХ
ст.

Багато займався питаннями побудови аналітичної теорії функції і Ж.Л.Лагранж. Праці
Лагранжа з побудови теорії функції з допомогою степеневих рядів мають багато спільного
з працями Ейлера та інших учених XVIII ст. з цієї ж проблематики. Але Лагранж, як і
математики XVIII ст. в цілому, не зміг остаточно розв’язати проблему про можливі
подання функції у вигляді розвинень у ряди різноманітної природи. Таким чином, вчені
XVIII ст. не змогли остаточно розв’язати проблем, пов’язаних як з означенням функції,
так із виявленням природи і структури різноманітних функцій.

Проте, разом із степеневими рядами в математичний аналіз у XVIII ст. з’явилися нові
методи розвинення функцій. Д. Стірлінг (1730) та Ейлер (1732) застосували розвинення
функцій у асимптотичні ряди. У 1748 р. Ейлер ввів тригонометричні ряди для
розв’язування задач математичної фізики. Цей засіб почали застосовувати і інші
36