Page 35 - 4269

найбільш загальним, Ейлер допускав як дійсні, так і уявні значення аргументу. Функція,
яка таким чином розуміється просто як аналітичний вираз, утворюється у Ейлера з
допомогою класу допустимих операцій а саме: арифметичних дій піднесення до степеня,
добування коренів, розв’язків алгебраїчних рівнянь. До них Ейлер приєднав елементарні
трансцендентні функції: а також тригонометричні функції. На сам кінець, до класу
допустимих операцій було включено інтегрування. Таким чином, функції у Ейлера мають
таку класифікацію: 1) алгебраїчні – ірраціональні та раціональні (поділяються на цілі та
дробові); 2) трансцендентні – тригонометричні, логарифмічні та показникові. Ейлер також
доповнив цей принцип класифікації функцій по їх властивостях. А саме, він ввів
однозначні та багатозначні, парні та непарні функції, показав, якими є символічні ознаки
наявності чи відсутності тієї чи іншої властивості. Він також сформулював ознаки
визначення того, які властивості функції зберігаються, а які не зберігаються при
виконанні тієї чи іншої операції. Класифікація функцій Ейлера визначала новий етап
сприйняття цього поняття. Проте відсування на другий план функції як відповідності,
спирання тільки на аналітико-оперативну практику визначили обмеження розуміння
функції навіть Ейлером.

Всі функції у Ейлера вважаються такими, що подаються степеневими рядами:
, де z в загальному є комплексне. Таким чином, уявлення про
функції було обмежено тільки класом аналітичних функцій. Це уявлення цілком випливає
із означення функції за Ейлером. Дійсно, так як до аргументу застосовуються тільки
операції вказаного вище класу, то в результаті будуть отримуватись функції, аналітичні
скрізь, крім, можливо, ізольованих особливих точок, причому аналітичність зберігається і
в як завгодно малих околах цих точок. Поведінка функції на малому інтервалі визначає, за
Ейлером, поведінку функції в цілому.

Із того ж визначення функції як аналітичного виразу виникло і своєрідне визначення
неперервності. Функція вважалась неперервною, якщо вона задана на всій області
визначення єдиним аналітичним виразом. Таким чином, неперервними вважались функції

та ін. Властивість неперервності функції в сучасному значенні
називалось зв’язністю функції.

Така концепція поняття функції як аналітичного виразу була основною для
математиків XVIII ст., проте зустрічались і інші визначення, де основною ознакою функції
є відповідність.

Основним засобом, який дозволяв приводити функції до вигляду, зручному для
оперування з ними, було розвинення їх у степеневі ряди. Дійсно, практично всі відомі на
той час функції розкладалися у степеневі ряди. Винятків на той час було дуже мало, і вони
не змінювали загальної картини і не впливали на структуру теорії функцій. У своєму
«Вступі до аналізу» Ейлер розробив потужний апарат дослідження функцій з допомогою

степеневих рядів. Тут уже виводиться формула яка в пізнішій символіці

записується: де у Ейлера і – нескінченно велике число (від infinite –
нескінченність). Тригонометричні функції також вводяться аналітично. Їх визначення вже
не пов’язуються тісно з геометричним образом кола. В результаті дослідження
властивостей тригонометричних функцій виводиться знаменита формула Ейлера:

де і – уявна одиниця.

35