Page 34 - 4269

Із європейських держав найбільша активність у математиці в XVIII ст. спостерігається
у Франції, де в цей час працюють видатні вчені Д’Аламбер, Лагранж, Лаплас, Монж,
Лежандр та багато інших. В цьому столітті активізуються англійські математики – Тейлор,
Маклорен, Стірлінг та ін., а також німецькі математики – Гаусс, Ламберт та ін. В Росії
плідно працюють математики, що приїхали з Європи – Ейлер, Д. та Н. Бернуллі, Р.Герман
та ін.

4.2. Перетворення і розвиток математичного аналізу

Ще при житті Ньютона і Лейбніца для математиків було зрозумілим, що відкриті ними
диференціальне та інтегральне числення є лише початком створення нової галузі
математики, її елементарною частиною. Зміст аналізу нескінченно малих швидко і
невпинно поповнювався у XVIII ст. все новими і новими фактами. Суттєво розширилися
можливості практичного застосування аналізу нескінченно малих у найрізноманітніших
природознавчих дисциплінах. У свою чергу практичні потреби примушували поширювати
операції аналізу для все нових і нових класів функцій. Тому необхідною стала потреба
дослідити зміст поняття функції, дати класифікацію всіх відомих функцій. Ейлер писав,
що весь аналіз нескінченно малих обертається навколо змінних величин та їх функцій.
Саме Ейлер видав серію книжок, присвячених математичному аналізу, в яких послідовно
викладався аналіз функцій. Ці книги, сама методика викладання Ейлера стали зразковими
для математиків як XVIII ст., так і багатьох наступних поколінь. Аналізу нескінченно
малих Ейлер присвятив наступні книги: а) «Вступ у аналіз нескінченно малих» - 2 томи,
1748 р. б) «Диференціальне числення» - 2 томи, 1755 р. в)«Інтегральне числення» - 3 томи,
1767 – 1770 рр. (4-й том вийшов у 1794 р., після смерті Ейлера). Ці класичні твори
відтворили стан всього математичного аналізу XVIII ст. і являлися дороговказом для
наступних поколінь математиків.

Поняття функції має два аспекти: функції як відповідності та функції як аналітичного
виразу. Інтуїтивне сприйняття функціональної залежності як прояв причинного зв’язку
явищ в різних модифікаціях притаманно людству з давніх часів. Велику історію мають
також спроби вираження цих залежностей засобами математики. Одними із перших спроб
явилися вчення античних учених про геометричні місця, а також складання ще у
стародавні часи різноманітних таблиць. З подальшим розвитком науки сукупність засобів
математичного вираження функцій зростала. До цих засобів почали входити символічний
апарат діофантового аналізу, алгебраїчні та тригонометричні функції, логарифми та деякі
дані про інші класи функцій.

Загальна ідея функції як відповідності загальної природи була підкреслена ще
Декартом. Проте можливість оперування з функціями постійно пов’язувалася з її
конкретними виразами: засобами геометрії або аналітичними символічними виразами.
Ньютон до того додав механічну трактовку функції в своїй теорії флюксій. Оперативна
частина цієї теорії ґрунтувалася на розвиненнях функцій у степеневі ряди. В свою чергу,
Лейбніц висловив загальну ідею функціональної залежності, ввівши самий термін
«функція» і відповідний символ для всіх відрізків, зв’язаних з кривою і таких, що їх
довжина залежить від положення точки на кривій (ординати, відрізки дотичних, під-
дотичних, нормалей, під-нормалей). Практичні успіхи аналізу нескінченно малих
примушували вчених звертати більшу увагу на таке тлумачення поняття функції, яке б
сприяло оперуванню з конкретними функціями. Цю тенденцію чітко висловив у 1718 р.
Й.Бернуллі, який запропонував вважати функцію просто аналітичним виразом. На цю
домінуючу в той час позицію став і Ейлер, який дав наступне означення функції:
«Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений яким-небудь способом із цієї
змінної кількості, а також чисел, тобто сталих кількостей». Щоб зробити це визначення
34