Page 32 - 4269

функцій степеневими рядами. До початку XVIII ст. появились результати і у вищих
областях математичного аналізу – диференціальних рівняннях та варіаційному численні.
Інтегрування перших звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, до яких
приводили задачі природознавства, проводили з допомогою алгебраїчних та елементарних
трансцендентних функцій. На цьому шляху були отримані деякі окремі результати. Проте
математики швидко переконалися, що таким чином отримати розв’язки достатньо
широкого класу рівнянь не вдасться. Постановка задачі була трансформована, і розв’язки
диференціальних рівнянь почали шукати в квадратурах.

Арсенал прийомів інтегрування диференціальних рівнянь спочатку був дуже
невеликий. До нього належали: відокремлення змінних, окремі випадки знаходження
інтегровного множника, розв’язування однорідного рівняння першого порядку
підстановкою І. Бернуллі у 1697 р. проінтегрував рівняння, що носить тепер його
ім’я:

перетворивши його у лінійне диференціальне рівняння першого порядку з допомогою

підстановки Цей спосіб , власно, був відомий також Лейбніцу і Я. Бернуллі. На
межі століть І. Бернуллі знайшов розв’язок лінійного однорідного диференціального
рівняння п –го порядку:

понижуючи його порядок з допомогою інтегровного множника виду . Систематичної
розробки теорії диференціальних рівнянь ще не було, проте ця задача вже ставилася як
першочергова.

В галузі варіаційного числення математики зуміли накопичити деякий запас
особливого роду задач – варіаційних, і знайти розв’язки деяких таких задач. Проте
створення загального методу поступово висунулося на перший план і в цій частині
математичного аналізу.
В результаті енергійної роботи в різних галузях математичного природознавства
зросла кількість задач, що розв’язувались з допомогою тоді ще нового методу аналізу
нескінченно малих. Зростала впевненість, що диференціальні рівняння є відображенням
найважливіших законів природи. Розв’язування диференціальних рівнянь уявлялося
багатьом ученим універсальним засобом пізнання. Проте в основі цього могутнього
математичного засобу лежало нерозв’язане протиріччя між видатними практичними
успіхами та логічною необґрунтованістю прийомів оперування з нескінченно малими
величинами. Особливо незрозумілою і необґрунтованою виглядала можливість
відкидання (тобто нехтування) нескінченно малих величин.

Алгебра, на яку спирався новий аналіз, набула вже до кінця XVII ст. достатньо
вдосконаленої буквеної символіки. Її практичні можливості значно розширилися після
встановлення багатьох фактів загальної теорії алгебраїчних рівнянь та елементів теорії
визначників. Центральною проблемою алгебри стала проблема відшукання загального
методу розв’язування алгебраїчних рівнянь будь-якого степеня.

Арифметичні обчислювальні методи до того часу збагатилися із введенням та
використанням логарифмів і відповідних таблиць. Почали з’являтися обчислювальні
пристрої, серед яких найбільш досконалими були арифмометри Шиккарда, Паскаля,
Лейбніца, а також логарифмічні шкали.

32