Page 24 - 4269

складав рівняння і після перетворень в лівій частині брав .
Близьким до диференціального числення був і метод Ферма побудови дотичних до
алгебраїчних кривих. Пізніше він поширив свій метод побудови дотичних і на випадок

неявної функції. Отриманий ним вираз в сучасній формі має вигляд: Всі
функції у Ферма – алгебраїчні поліноми. У випадку, коли функції, які досліджувалися,
містили ірраціональності, Ферма звільнявся від них піднесенням обох частин до степеня.
На жаль, Ферма не прагнув надрукувати свої праці, і користувався важкими для розуміння
і громіздкими алгебраїчними позначеннями Вієта. Тому, мабуть, Ферма і не зробив
останнього вирішального кроку на шляху до створення диференціального числення.

До середини XVII ст. накопичилась значна кількість засобів для розв’язування
задач, які тепер розв’язуються з допомогою диференціювання. Проте ще не було
виокремлено спеціальної операції диференціювання, а також понять, еквівалентних
поняттям похідної та диференціала. Не було зрозуміло зв’язку між диференціальними та
інтеграційними методами. Математичний аналіз ще формувався в рамках і термінах
алгебри, геометрії, механіки – цілком сформованих до того часу наук. Але саме так
формується будь-яке нове математичне числення – в межах уже існуючої системи
математичних наук, користуючись їхніми засобами.

3.5. Про зв'язок між диференціальними та інтеграційними методами

Останнім етапом початкового періоду аналізу нескінченно малих явилося
встановлення зв’язку і взаємної відповідності між диференціальними та інтеграційними
дослідженнями. Причин для встановлення такого зв’язку було багато. Одними з
найважливіших були так звані обернені задачі на дотичні. Задачі такого типу являють
собою визначення кривих, якщо відома загальна властивість всіх дотичних. В загальній
постановці задачі цього типа формулюються так: знайти з умови
Таким чином, мова йде про розв’язування диференціального рівняння першого порядку.

Обернені задачі на дотичні виникли в результаті практичних запитів. Наприклад,
мореплавці в часи великих географічних відкриттів звернули увагу на криву постійного
найкоротшого курсу корабля – локсодромію. Це крива, дотичні до якої перетинають
меридіани (на глобусі) під постійним кутом. Різноманітні обернені задачі на дотичні були
поставлені також в геометричній оптиці та в кінематиці.

Наближені графічні методи не могли вважатися задовільним засобом розв’язування
цих задач. Спробу дати загальний метод першим здійснив Декарт. Він запропонував
класифікувати всі алгебраїчні криві (неалгебраїчні криві Декарт не розглядав), розмістити
їх у ряд, знаходити їх дотичні і перевіряти, чи задовольняють вони задану властивість.
Фактично цей метод є методом проб і помилок, громіздкий і практично нереальний до
застосування.

Сутність багатьох задач на дотичні, як вже було зауважено, зводиться, говорячи
сучасною мовою, до розв’язування відповідних диференціальних рівнянь. Особливо добре

вдавалось розв’язувати задачі, що зводилися до інтегрувань рівнянь виду
Окремих результатів тут досягли шотландець Д. Грегорі (1638 – 1675) та англієць
Дж. Валліс (1616 – 1703). З’явився (1669 р.) дуже важливий результат взаємно-оберненої
залежності задач на квадратури та на проведення дотичних, який отримав учень Валліса
та друг Ньютона І. Барроу (1630 – 1677). У праці «Оптичні й геометричні лекції» він
встановив зв'язок між двома важливими задачами: обчисленням площі і проведенням

24