Page 28 - 4269

результати і намагався більше дізнатися про методи та результати Ньютона.
Кореспонденти добре розуміли один одного, розуміли близькість своїх цілей та висновків.
На жаль, листування закінчилося, тому що Ньютон перестав відповідати на листи.

Здавалося, це листування двох геніїв повинно було пришвидшити публікацію
нового числення. Проте Лейбніц, так само як і Ньютон, не поспішав з публікаціями. Він
працював над вдосконаленням методів числення та над їх обґрунтуванням. Тільки у
1684 р. в лейпцігському журналі “Acta Eruditorum” Лейбніц надрукував перший мемуар
про аналіз нескінченно малих: «Новий метод максимумів, мінімумів, а також дотичних …
і особливе для цього роду числення». В цьому мемуарі менше 10 сторінок, але тут уперше
в науковому журналі з’являється диференціальне числення як об’єкт математичного
дослідження в майже сучасному вигляді. Через два роки, у 1686 р., надруковано другий
твір Лейбніца «Про глибоку геометрію», в якому зібрані правила інтегрування багатьох
елементарних функцій. Для позначення операції інтегрування використовується символ

який тлумачиться як сума диференціалів, і підкреслюється його взаємність з
операцією диференціювання. У тому ж році Лейбніц розробляє основи теорії дотикання
кривих, вводить дотичне коло та радіус кривизни.

Аналіз нескінченно малих вийшов, таким чином, із стадії формування і заявив про
себе як про нову, незвичайно плідну математичну науку. Велась активна пропаганда
нового числення Лейбніцем та його учнями та послідовниками, в першу чергу братами
Якобом (1654 – 1705) та Йоганном (1667 – 1748) Бернуллі, що сприяло його швидкому
поширенню. Сам Лейбніц з допомогою свого числення робив все нові і нові відкриття. У
1693 р. він поширив нове числення на трансцендентні функції шляхом розвинення їх в
ряди за методом невизначених коефіцієнтів. В наступних працях Лейбніца охоплені по
суті всі початкові розділи диференціального та інтегрального числення. У 1695 р. він
публікує правило диференціювання загальної показникової функції, а також формулу
багатократного диференціювання добутку:

Тоді ж йому вдалося узагальнити поняття диференціала на випадок дробового і
від’ємного показника. Протягом 1702 – 1703 р.р. були розроблені правила
диференціювання раціональних дробів.

З допомогою нового числення математикам кінця XVII – початку XVIII ст..
вдавалось розв’язувати швидко зростаючу кількість важких і практично важливих задач.
Лейбніц завжди залишався в першому ряді. У 1691 р., наприклад, він знайшов форму, яку
приймає підвішена за кінці важка однорідна нитка, і вивів рівняння ланцюгової лінії. З
1696 р. його цікавлять нові задачі – варіаційні. Він розв’язав задачу про брахістохрону –
криву найшвидшого спуску, знайшов метод розв’язування задач про геодезичні лінії.

Символіка і терміни Лейбніца виявилися дуже добре продуманими і зручними;
вони були нескладні, але добре виявляли суть справи, допомагали розумінню, з ними
можна було оперувати за достатньо простими правилами. Багато з них дійшло до нашого
часу, в тому числі терміни: диференціал, диференціальне числення, функція, координати,
диференціальне рівняння, алгоритм та багато інших. Практичні успіхи і розробленість
методів нового числення досягли такого рівня, що у 1696 р. з’явися перший підручник з
диференціального числення та його застосувань до геометрії Г. Ф. де Лопіталя: «Аналіз
нескінченно малих».

28