Page 26 - 4269

часу по даному шляху; інакше: визначення співвідношення між флюксіями, якщо задані
співвідношення між флюентами; 2) по заданій швидкості руху визначити пройдений за
даний час шлях, або: визначити співвідношення між флюентами по даному
співвідношенню між флюксіями.

Перша задача, так звана пряма задача теорії флюксій, є задачею диференціювання
(в загальному випадку неявної) функції і отримання диференціального рівняння, що
визначає певні закони природи. Друга – обернена задача теорії флюксій – є задачею
інтегрування диференціальних рівнянь, яка поставлена в найбільш загальному випадку. В
частинному випадку в цій задачі йде мова про знаходження первісних. Таким чином,
інтегрування в теорії флюксій вводиться спочатку в вигляді невизначеного інтегрування.

Спочатку Ньютон розглядає за своїм методом диференціювання многочленів.
Надалі йде вдосконалення диференціального числення – диференціювання не
поліноміальних функцій, знаходження екстремумів функцій, геометричні та механічні
застосування. Ньютон застосовує ще один потужний метод – розвинення функцій в
степеневі ряди як універсальний засіб теорії флюксій. Таким чином він отримує
результати розвинення функцій, які наводяться у всіх сучасних підручниках з аналізу (в
сучасних позначеннях):

…,

та багато інших.

Ньютон отримав більшість результатів теорії флюксій протягом 60 – 70 р. р.
XVII ст. Проте він не поспішав з друкуванням написаних ним на цю тему праць. Він
неохоче давав згоду на публікацію навіть тоді, коли розгорівся спір про приорітет
відкриття диференціального та інтегрального числення між ним та Лейбніцем. Більше
того, навіть знамениті його «Математичні начала натуральної філософії» (1686 – 1887
р. р.) написані без застосування методів теорії флюксій, хоча багато з наведених у цій
книзі результатів отримані засобами цієї теорії.

Причиною такого становища були недосконалість методів розв’язування обернених
задач, а також недостатня логічна обґрунтованість теорії флюксій. Введення в математику
змінних величин, оперування з нескінченно малими веде до необхідності раціонального
роз’яснення великої кількості зв’язаних між собою основних понять. Ньютон чудово
бачив ці проблеми, але розв’язати їх не зміг. Погляди Ньютона на обґрунтування теорії
флюксій змінювались. Як вже зазначалося, вихідні позиції теорії флюксій лежать у
механіці. Але тоді в механіку переносяться всі протиріччя, що виникають при тлумаченні
основних понять цієї теорії. Проте операційна сторона метода передбачає відкидання
нескінченно малих. Довести законність такої операції, виявити таємничу сутність цих
величин, що не являються ні нулями, ні скінченними величинами, – ця задача не
розв’язувалась наявними у Ньютона засобами.

В пошуках розв’язку цієї проблеми Ньютон створив так званий метод перших і
останніх відношень – початкову форму теорії границь. Він виклав його в першому розділі
книги «Математичні начала натуральної філософії», де отримав деякі теореми про границі
і нескінченно малі, на яких ґрунтуються курси математичного аналізу. Але побудова
строгої теорії границь виявилася важкою задачею, яка була остаточно вирішена у ХІХ ст..
Коші. Теорія флюксій започаткувала той етап розвитку аналізу нескінченно малих, коли

26