Page 21 - 4269

Методи Кеплера в знаходженні об’ємів тіл обертання були, природно, нестрогими з
сучасної точки зору. Це було зрозумілим і йому самому, і його сучасникам. Навколо
кеплеровського метода підсумовування актуальних нескінченно малих велися гарячі
дебати, деякі критики (напр., шотландець А. Андерсон) навіть звинувачували Кеплера в
нанесені образи пам’яті Архімеда. Але тим не менше плідність метода підсумовування
елементів, який Кеплер позичив саме у Архімеда, була очевидною. Перша ж спроба
створити регулярний алгоритм оперування з нескінченно малими була досить успішною.
Багато вчених присвятили свої роботи вдосконаленню оперативної сторони цього метода і
раціональному роз’ясненню понять, які при цьому виникають. Найбільш відомою працею
у цьому напрямку стала «геометрія неподільних», яку винайшов Б.Кавальєрі.
Бонавентура Кавальєрі (1598 – 1647), учень Галілея, був ченцем, але успішно
займався науковою і викладацькою діяльністю з математики. В 1629 р. (по рекомендації
Галілея) зайняв кафедру математики в університеті м. Болонья, при цьому був одночасно
настоятелем католицького монастиря. Чудовий знавець античних авторів, він одночасно
глибоко вивчав висловлені Галілеєм і Кеплером ідеї створення числення неподільних.
Кавальєрі написав ряд творів з астрономії, конічним перерізам, тригонометрії, техніці
обчислень. Підсумком багатолітнього вдосконалення методу неподільних явилася праця
«Геометрія, викладена новим способом з допомогою неподільних неперервного» (1635 р.).

Метод неподільних був винайдений для визначення розмірів плоских фігур та тіл.
Як фігури, так і тіла подаються складеними з елементів, що мають розмірність на
одиницю менше. Наприклад, фігури складаються з відрізків прямих, проведених
паралельно деякій направляючий, що називається регула. Таких відрізків нескінченно
багато, і всі вони знаходяться між двома дотичними до фігури, дотичні паралельні регулі.
В геометричних тілах неподільними є площини, паралельні деякій площині, вибраній в
якості регули.

Сукупність всіх неподільних, що ввів Кавальєрі, по суті вводить поняття
визначеного інтегралу. Проте логічні труднощі, пов’язані з розумінням неподільних,
складання площ із ліній, що не мають ширини, тіл із нескінченно тонких площин і т. ін. не
дають ще можливості робити висновки про сукупність всієї множини неподільних.

Іншим узагальненням метода було введення метода криволінійних неподільних,
одним із гарячих прихильників якого був ще один учень Галілея Е.Торрічеллі (1608 –
1647). Він писав, що «…нова геометрія неподільних переходить із рук одних учених до
інших, як диво науки. … Вона переконала світ, що віки Архімеда і Евкліда була роками
дитинства нині вже дорослої геометричної науки…». Торрічеллі широко застосовував
метод неподільних при розв’язуванні задач на дотичні, першим знайшов об’єм тіла,
утвореного при обертанні гіперболи та ін..

Але у цього метода були свої недоліки. По-перше, він був непридатний для
вимірювання довжин, так як відповідні неподільні (точки) виявлялися безрозмірними. По-
друге, невизначеність поняття неподільного, неможливість його раціонального пояснення
створювало навколо всієї теорії атмосферу необґрунтованості, незавершеності. По-третє,
розвиток методу сильно затримувався по причині того, що Кавальєрі і його послідовники,
у відповідності з тогочасними уявленнями про наукову строгість, уникали застосовувати
символіку і алгебраїчні методи. Проте визначене інтегрування у формі геометричних
квадратур в першій половині XVII ст. вже зарекомендувало себе. Всі зусилля були
направлені на удосконалення цього методу і на досягнення найбільш загальних
результатів.

21