Page 22 - 4269

Б. Паскаль, наприклад, розглядав квадратури у формі, близькій до тої, якою
користувався Кавальєрі. Спроба удосконалення була в тому, що суму всіх неподільних він
розумів як суму елементарних площ, що утворюється рівновіддаленими, але нескінченно
близькими ординатами, обмеженими відрізком осі абсцис і самою кривою (тобто суму
виду В ряді задач Паскаль вводить суму всіх синусів, визначивши її як суму
добутку ординат на елементи дуги ( , яка у випадку кола одиничного радіуса

виправдовує свою назву ( З допомогою цього геометричного еквіваленту
визначеного інтегрування Паскаль зумів розв’язати багато задач на обчислення площ,
об’ємів, статичних моментів і т. ін. За висловленням Лейбніца, розмірковування Паскаля
допомогли йому в створенні так званого диференціального трикутника, складеного з
диференціалів

Важливе вдосконалення для знаходження геометричних квадратур було зроблено
Ферма, який ввів поділ квадрованої площі ординатами, не рівновіддаленими одна від
одної. Це дало можливість поширити способи обчислення виразів, еквівалентних

на випадок, коли n – дробове і від’ємне.

Математики першої половини XVII ст. з великим подивом та ентузіазмом
переконувались, що значна кількість нібито зовсім різних задач з геометрії і механіки
зводилося до квадратур. З кожним новим результатом все більше виявлялась спільність
операцій, які застосовувались при розв’язуванні цих задач. Геометричний еквівалент
визначеного інтегрування, що виник як специфічний метод геометрії і частково взятий від
Архімеда, поступово набував рис загального математичного метода. В цьому методі все
більшу вагу набували числові розрахунки і елементи майбутнього аналізу нескінченно
малих.

В цьому плані характерним прикладом є праці Дж. Валліса (1616 – 1703),
англійського математика, професора Оксфорду. У 1655 р. ним була видана «Арифметика
нескінченного». Використовуючи метод Кавальєрі, він перевів на арифметичну мову
відношення сум неподільних. Він отримав формулу, в сучасних позначеннях яка

еквівалентна наступному виразу: Валліс знав із творів Архімеда, що

площа параболічного сегмента дорівнює площі описаного паралелограма. Він цей

факт перевів на мову сум: відношення при нескінченно

зростаючому n дорівнює . Як видно з цих прикладів, Валліс також володів
елементами того, що тепер називається математичним аналізом.
Ідеї, що вмістили елементи визначеного інтегрування і числення нескінченно
малих, широко поширювалися серед математиків західноєвропейських країн. Методи
інтегрування охопили до 60-х років XVII ст.. значну кількість алгебраїчних та
тригонометричних функцій. Було розв’язано величезну кількість задач, багато з яких (в
сучасних позначеннях) наводяться в підручниках з математичного аналізу.

22