Page 19 - 4269

Поняття «уявного числа» (як згодом почали називати ці числа) стало по суті
першим об’єктом, створеним в результаті абстрактної конструкції, і висвітлило глибокі
проблеми, що стосується як теорії пізнання, так і самих основ математики. Перед
геометрами виникло питання: як розуміти існування цих чисел, яке вони займають місце і
наскільки «реальні»? Але по чисто емпіричним причинам, виходячи з проблем алгебри
при розв’язуванні рівнянь, математики користувалися цими числами все більш впевнено.
Вже Ф. Вієт, використовуючи свої позначення, встановив співвідношення, що зв’язують
коефіцієнти і корені алгебраїчного рівняння. Він побудував рівняння п’ятої степені, що
мало п’ять коренів, і знав, що таким же чином можна побудувати і рівняння n–го степеня,
що має n коренів. Альбер де Жирар у 1629 р. першим сформулював твердження, що будь-
яке рівняння n-го степеня має рівно n коренів, якщо рахувати і «неможливі» (тобто уявні)
корені і враховувати кратність коренів. Але це було тільки твердження, і пройшло ще ціле
століття, доки математики усвідомили необхідність в доведенні цього результату.
Наприклад, Декарт в 1637 р. в своїй «Геометрії» писав: «Як справжні, так і не справжні
корені не завжди бувають дійсними, іноді залишаючись лише уявними [imaginaries] …».
Тут вперше вживається термін «уявний». Декарт розуміє уявні корені як ідеальні
елементи, які він формально приєднує до дійсних коренів з метою узагальнити випадок,
коли рівняння задано в вигляді = 0, тобто коли корені вже
відомі. З появою терміна «уявний» виникає неоднозначність: з одного боку, існує
«ідеальне» тлумачення Декарта або А. де Жирара, а з другого боку – уявними числами
почали називати числа виду з дійсними a i b, які раніше розглядали італійські
алгебраїсти при розв’язуванні рівнянь. Такий дуалізм притаманний всім спробам,
здійснюваним у XVIII ст., довести твердження, що було названо «основною теоремою
алгебри»: розвинення довільного дійсного многочлена на множники першого і другого
степеня, а потім розвинення будь-якого комплексного многочлена n–го степеня на n
множників першого степеня. Щоб зрозуміти, чому цій теоремі надавалося таке велике
значення, треба пам’ятати, що до середини ХІХ ст. алгебра була тільки методом аналізу і
розв’язування, точного чи наближеного, рівнянь різних степенів. В цих умовах важливість
такої теореми стає зрозумілою. Фундаментальний характер основної теореми алгебри
підтверджують такі обставини: 1)кількість її доказів засвідчує про великий інтерес, який
виявили до неї математики, причому такі видатні, як Даламбер, Ейлер, Лагранж, Гаусс та
ін.; 2)велика різноманітність нових методів, теорій, понять, що виникли при її доведенні,
свідчить про величезну роль, яку зіграла ця теорема в розвитку математичних досліджень.

Не вдаючись у подробиці різноманітних методів у доведенні основної теореми
алгебри, зауважимо тільки, що всі вони, як показав Гаусс, спиралися на наступний
неявний постулат: будь-яке рівняння n-го степеня з дійсними коефіцієнтами має n
коренів, із цими коренями при обчисленнях можна виконувати всі дії, як із звичайними
числами. Таким чином, єдине, що треба було довести, що ці корені мають вигляд
, де a i b – дійсні числа. Гаусс, глибоко проаналізувавши попередні доведення
теореми, виявив в них принципові недоліки. Від початку 1799 р. Гаусс надрукував чотири
різних доведень основної теореми алгебри, вже звільнених від цих недоліків. Доведення
Гаусса започаткували дослідження, які привели до створення нових алгебраїчних галузей,
а саме теорії груп і теорії полів. В наш час теорія груп і теорія полів – самостійні
математичні дисципліни, які мають широкі застосування як у математиці, так і в багатьох
природознавчих науках. На прикладі основної теореми алгебри можна побачити, як інший
підхід до того чи іншого результату ставить інші проблеми і відкриває нову епоху в науці.

3.2. Створення математики нескінченно малих

Як вже було зазначено, XVII ст.. започаткувало створення математики змінних
величин. Змінні величини спочатку використовувалися в аналітичній геометрії і алгебрі.

19