Page 23 - 4269

3.4. Диференціальні методи – початок диференціального числення

В математиці XVII ст. разом з інтеграційними методами розвивалися і методи
диференціальні. Вироблялися ці методи при розв’язуванні задач, які в даний час
розв’язуються з допомогою операції диференціювання. В той час такі задачі були трьох
видів: побудова дотичних до кривих, знаходження максимумів і мінімумів функцій, і
відшукання умов існування кратних коренів алгебраїчних рівнянь. До тієї ж групи задач
входять і задачі механіки на визначення швидкості або прискорення в випадку
нерівномірного руху та ін.. Наукова спадщина стародавніх та середньовічних учених в цій
галузі не була такою значною, як у випадку інтегральних методів.

На протязі XVII ст. диференціальні задачі розв’язувались різними способами. Як
завжди у науці, поруч з новим існує і старе. Так само відбувалося і в даній галузі.
Геометричні побудови в дусі античних математиків, механічні методи, дослідження в дусі
нової аналітичної геометрії Декарта, інфінітезимальні розмірковування – в їх тісному
зв’язку створювалось нове диференціальне числення.

Вже в школі Галілея для дослідження дотичних і нормалей до кривих регулярно
використовувались кінематичні методи. При цьому дотична з’являється як діагональ
паралелограма, сторонами якого є горизонтальна і вертикальна складові швидкості.
Наприклад, нехай важка матеріальна точка кинута з деякою горизонтальною початковою
швидкістю. Переміщення точки по осі ОХ (горизонтальній) будуть пропорційні відрізкам
часу: по осі ОУ (вертикальній) – пропорційні квадратам цих відрізків, як довів

Галілей: Тоді траєкторією руху буде парабола, і отримуємо зв'язок між

переміщенням у та х: (вісь ОУ направлена вниз). Торрічеллі позначив параметр
через 2р, і знайшов, що відношення вертикальної компоненти швидкості gt (тобто

до горизонтальної ( дорівнює , або (тобто
Звідси Торрічеллі зробив висновок, що дотична перетинає вісь параболи в точці, що
лежить на відрізок 2у вище даної точки або на у вище вершини параболи (В сучасних
позначеннях задача розв’язується так:

– рівняння дотичної, і при
знаходимо перетин дотичної з ОУ в точці , якщо вісь ОУ направлена вгору).

Цей кінематичний метод започаткував появу досліджень по знаходженню
дотичних при різних складних рухах в будь-якій точці траєкторії. Систематичний виклад
метода та його найважливіших застосувань дав у 1640 р. Роберваль. Кінематичний метод,
важливий для механіки, був досить незручним при практичному застосуванні, тому що
потрібно було враховувати індивідуальні особливості траєкторії руху. Загального
алгоритму для побудови дотичної до будь-якої кривої ще не існувало. Тому більше
перспектив для визначення дотичних і нормалей давав метод нормалей Декарта, що
розглядається у другій книзі його «Геометрії». Накопичення методів диференціального
числення прийняло найбільш виражену форму у Ферма. У 1638 р. він повідомив у листі

Декарту, що розв’язав задачу визначення екстремальних значень функції . Ферма

23