Page 20 - 4269

Але в математиці вже довгий час йшов процес накопичення і аналізу знань про
нескінченно малі величини. Для розвитку цього процесу в XVII ст. склались суттєві
передумови: наявність вже сформованої алгебри та обчислювальної техніки; введення в
математику змінних величин і методу координат; засвоєння інфінітезимальних ідей (тобто
ідей, пов’язаних з численням нескінченно малих величин) стародавніх вчених, особливо
Архімеда; накопичення методів розв’язування задач на обчислення площ, об’ємів,
визначення центрів мас, знаходження дотичних, екстремумів і т. ін. Каталізатором цього
процесу стали потреби природознавства – механіки, астрономії, фізики. Ці науки не тільки
вимагали від математики розв’язання того чи іншого класу задач – вони збагатили
математичні уявлення про неперервні величини та неперервні рухи, про суть і види
функціональних залежностей. В тісній взаємодії математики і природознавства
народжувались інфінітезимальні методи – основа і сутність математики змінних величин.

В розв’язуванні задач такого роду, в пошуках загальних методів їх розв’язування,
тобто в створенні в створенні диференціальних та інтеграційних методів, які і отримали
загальну назву – аналіз нескінченно малих (пізніше його назвали математичним
аналізом), брали участь багато вчених: Кеплер, Галілей, Кавальєрі, Торрічеллі, Паскаль,
Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Барроу та багато інших. Створення елементів
математичного аналізу являло собою багатогранну і важку творчу працю великої кількості
вчених.

Для спрощення вивчення розділимо умовно методи, що містять елементи аналізу
нескінченно малих, на дві групи: такі, що містять початки інтегрального числення, які
назвемо інтеграційними методами; такі, що містять задачі на побудову дотичних,
знаходження швидкості, прискорення (тобто обчислення похідних) і т. ін., які назвемо
диференціальними методами. Відкриття зв’язків між інтеграційними та
диференціальними методами виявилось тим вирішальним етапом, після якого зразу
почалося формування математичного аналізу.

3.3. Інтеграційні методи – початок створення інтегрального числення

Спочатку інтеграційні методи створювалися, накопичувались та виокремлювались
при розв’язуванні задач на обчислення площ, об’ємів, довжин, центрів мас та ін.. Знову
переглядалися задачі Архімеда, вивчались його інфінітезимальні методи, досліджувалися
їх математичні можливості. Інтеграційні методи складалися в той час як методи
визначеного інтегрування. Процес формування і впровадження цих методів в математику
був дуже бурхливим і швидким; вже через 50-60 років з часу появи першої роботи він
привів до створення інтегрального числення.

Найпершою по часу надрукування роботою на тему використання інтеграційних
методів була праця І.Кеплера «Нова стереометрія винних бочок…». Кеплер використовує
в своєму труді античний метод вичерпування, яким користувався Архімед (робота
Архімеда «Про кулю та циліндр»). Згідно ідеї цього метода, будь-яка фігура (чи тіло)
подається в вигляді суми множини нескінченно малих частин. Круг, наприклад,
складається із нескінченно великої кількості нескінченно вузьких секторів, кожний з яких
можна розглядати як рівнобедрений трикутник. Всі трикутники мають однакову висоту
(радіус круга), а сума їх основ дорівнює довжині кола. Таким же чином куля виявляється
складеною з нескінченної множини конусів, вершини яких сходяться в центрі кулі, а сума
їх основ утворює поверхню кулі. Метод підсумовування актуальних нескінченно малих
Кеплер поширює і на інші прості геометричні фігури і тіла (конуси, циліндри), а потім
переходить до розгляду більш складних тіл, наприклад, утворених обертанням кола
навколо прямої, що не проходить через його центр, та ін.. Всього було розглянуто 92 види
тіл обертання.

20