Page 25 - 4269

дотичної. В сучасних позначеннях доведене ним твердження можна записати в такому

вигляді: До доведення цього результату Барроу підійшов двома шляхами:
кінематичним і геометричним. Цей результат має загальний характер, бо встановлений
відразу для всіх функцій (принаймні, для диференційованих). Спираючись на свій
результат, Барроу розв’язав велику кількість обернених задач на дотичні. З його працями
були знайомі багато вчених, у тому числі Ньютон і Лейбніц. В теперішньому
математичному аналізі залежність, встановлена І.Барроу, є змістом основної теореми
інтегрального числення.

Таким чином, до середини XVII ст.. математика вже підійшла до межі створення
інтегрального та диференціального числення. І це створення відбувалося.

3.6. Створення аналізу нескінченно малих

Основні ідеї аналізу нескінченно малих (сучасного математичного аналізу),
щоправда в геометричній та механічній формах, повністю визріли на останню третину
XVII ст. Щодо цього Лейбніц писав: «Після таких успіхів науки не вистачало тільки
одного – нитки Аріадни в лабіринті задач, а саме аналітичного числення на зразок
алгебри». Для остаточного створення інтегрального та диференціального числення стало
необхідним об’єднати всі існуючі загальні прийоми в єдиний метод, ґрунтуючись на
понятті нескінченно малої величини, а також виробити алгоритм для обчислення похідних
та інтегралів. Це стало під силу двом геніям світової науки – І. Ньютону та Г. В. Лейбніцу.
Праці Ньютона і Лейбніца по аналізу нескінченно малих виявилися поворотним пунктом в
історії математичного аналізу.

3.6.1. Теорія флюксій І.Ньютона
Теорія флюксій – це найранішня форма аналізу, відкриття якої належить І. Ньютону
(1642 – 1727, основні біографічні дані про Ньютона та його праці даються нижче в розділі
про вчених-математиків).

Математика в системі наукових поглядів Ньютона була частиною загальної науки
про природу – натуральної філософії, а також знаряддям фізичних досліджень. В вигляді
математичного апарата механіки, який би міг врахувати всі аспекти руху і пов’язані з ним
поняття швидкості і прискорення, Ньютон і розробив метод, який назвав методом, або
теорією флюксій. В методі флюксій вивчаються змінні величини, які вводяться як
абстракції різних видів неперервного механічного руху. Називаються змінні флюентами,
тобто такими, що течуть (лат. Fluere – текти). Всі флюенти є залежними змінними, що
мають спільний аргумент – час. Час у Ньютона треба розуміти як деяку абстрактну
рівномірно текучу незалежну величину. Далі вводяться швидкості течії флюент, тобто
похідні по часу, які і називаються флюксіями. Так як сама флюксія є змінною величиною,
то можна вводити флюксію від флюксії і т.д. Символи для першої, другої, третьої і т.д.
флюксій, якщо флюенту позначити у, будуть: і т.д. Для обчислення миттєвих
швидкостей – флюксій, потрібні нескінченно малі зміни флюент, які Ньютон називає
моментами. Символ моменту (тобто нескінченно малого) часу позначається 0, тоді момент
флюенти у записується: , тобто це добуток миттєвої швидкості на момент часу.
Таким чином, момент флюенти – це її диференціал. Символи Ньютона не є такими
зручними, як символи диференціалів, введені Лейбніцем, проте деякі з них (напр.,
позначення похідних ) збереглися і в сучасній механіці.

В теорії флюксій розв’язуються дві основні задачі, які формулюються як в
механічних, так і математичних термінах: 1) визначення швидкості руху в даний момент

25