Page 18 - 4269

праці Діофанта: Ксиландер переклав їх на латинь, Стевін на французьку мову, Бомбеллі та
Вієт черпали в них натхнення.

В 1621 р. Боше де Мезир’як надрукував грецький текст Діофанта і новий переклад
його на латинь з важливими коментарями, виправивши деякі помилки в його арифметиці
та узагальнивши деякі розв’язки. У Ферма було видання праць Діофанта в перекладі Боше
де Мезир’яка, і на полях саме цього видання він написав свої знамениті зауваження.
Ферма до того часу познайомився з працями Вієта та користувався його символічними
позначеннями. В той час, як Діофант проводив свої дослідження на множині додатних
раціональних чисел, Ферма був першим, хто обмежився областю цілих чисел, яку він
вважав самою суттю арифметики. В арифметиці Ферма в основному цікавили прості
числа, ознаки подільності. Серед багатьох його теоретико-числових результатів, частина
яких була доведена тільки математиками XVIII ст., в більший частині Ейлером,
найважливішими є наступні: а) Мала теорема Ферма: для будь-якого простого числа р
та числа а, що не ділиться на р, виконується порівняння б) так зване
рівняння Пелля-Ферма для всякого додатного числа А, що не являється
повним квадратом, має в Z нескінченну кількість розв’язків; в) введення чисел Ферма
виду які він вважав всі простими. Ейлер довів, що вже число
не є простим; г) і, найважливіше, знаменита гіпотеза, так звана Велика теорема Ферма:
для цілих n, більших від 2, рівність неможлива в Z і в Q. Ця остання теорема
породила велику кількість дуже глибоких досліджень, що продовжуються вже більше
трьох століть, але і до нашого часу вона остаточно не доведена.

Ідеї та відкриття Ферма в галузі теорії чисел не мали великого впливу на
математику його часу. Але їхній вплив на наступні покоління математиків був дуже
великим. Особливий інтерес до цих досліджень проявив Ейлер. Він довів Малу теорему
Ферма та узагальнив її на випадок, коли модуль не буде простим. Він довів також, що
будь-яке просте число виду 4n+1 єдиним способом подається як сума двох квадратів
(напр.: 17=16+1; 29=25+4 і т. д.); розробив теорію дільників виду і довів
частинний випадок Великої теореми Ферма ( для n=3 та n=4). Важливий внесок в теорію
чисел зробив Лагранж: він перший чітко довів, що рівняння Пелля-Ферма
завжди має розв’язки; довів, що будь-яке просте число є сумою не більше чотирьох
квадратів, а також провів інші дослідження в галузі теорії чисел. XVIII сторіччя в
дослідженнях з теорії чисел закінчилося книгою Лежандра «Теоря чисел» (1798 р.), в якій
наводилася велика кількість окремих цікавих результатів, але не було ще загальних
концепцій. Лише з появою основної праці К.Ф.Гаусса «Арифметичні дослідження»
(1801 р., автору в цей час було 24 роки!), теорія чисел перестала бути зібранням цікавих і
оригінальних задач, інтуїтивних здогадок та результатів (деколи геніальних), і стала
новою дисципліною з власними потужними і глибокими методами.

До середини XVII ст. алгебра знаходилася в центрі інтересів математичної науки,
але в пізніші часи, після створення числення нескінченно малих, горизонти математики
значно розширилися, і алгебраїчні проблеми відійшли на другій план на величній
панорамі нової науки. Але, якщо алгебра та геометрія вже розмежувалися, то чіткої грані
між алгеброю і аналізом навіть у XVIII ст. ще не існувало. В епоху Ейлера і Лагранжа
дослідження функцій, рядів та інших нескінчених алгоритмів входило в «алгебраїчний
аналіз», а теорія рівнянь була знана як «скінчений алгебраїчний аналіз». В самій теорії
рівнянь почали відбуватися фундаментальні зміни. Все більші права стали завойовувати
«неможливі числа» (квадратні корені із від’ємних чисел), хоча довгий час було
незрозуміло, як ставитися до цих об’єктів.

18