Page 61 - 4204

ЛЕКЦІЯ 5. АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦІЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

знайти такий набір коефіцієнтів a , при яких сумарна квадратич-
j

на похибка  виявиться найменша

n
2

   a  0 ( x )  ... a  m ( x )  y i   min . (5.1)
0
i
i
m
0
i 0 a ,..., a m
m
Функцію  x)(   a j  x)( з набором коефіцієнтів a , що задо-
j
j
 j 0
вольняють вимогу (5.1), називають найкращим наближенням за

методом найменших квадратів. Побудова найкращого набли-

ження у такому розумінні зводиться до класичної задачі матема-

тичного аналізу про екстремум функції декількох змінних

   (a 0 ,a 1 ,...,a m ). Необхідною умовою екстремуму є рівність

нулю в екстремальній точці усіх перших частинних похідних да-

ної функції.

  n  m 
 2   a j  j (x i )  y i   k (x i )  0, k  0 .. m. (5.2)

a k  i 0  j 0 


Залишимо члени, що містять a ліворуч і змінимо в них порядок
j

сумування за індексами i та j . Члени, що містять y , перенесемо
i

вправо. У результаті рівняння (5.2) набудуть вигляду

m n n
a
   x )( i  x )( i   i  x )( i , k  0 .. m, (5.3)
y
k
k
j
j
 j 0  i 0  i 0
або ввівши позначення для відомих коефіцієнтів
n n
y
c jk    x )( i  x )( i , b k   i  x )( i ,
k
k
j
 i 0  i 0

60