Page 60 - 4204

ЛЕКЦІЯ 5. АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦІЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

Середньоквадратичне наближення. Мірою відхилення ап-

роксимаційної функції (x ) від заданої f(х) на множині точок (x ,
i

y ) (і = ..0 n) є величина, яка дорівнює сумі квадратів різниць між
i
значеннями многочлена та функції в даних точках

n 2
   [  (x i ) y i ] .

i 0

Цей вираз називається сумарною квадратичною похибкою. Оче-

видно, що вираз

 1 n 2
    [  (x )  y ]
n  1 n  1 i i
i 0

буде середньою квадратичною похибкою.

5.1. Система нормальних рівнянь

Процес побудови апроксимуючої функції (x ) полягає у її

поданні як лінійної комбінації

m
 x)(  a 0  x)( ...  a m  ( x)   a j  x)(
0
j
m
 j 0
у деякому класі базисних функцій  j (x ) (тут як правило

m  n), і підборі таких коефіцієнтів a , a ,..., a , щоб величина 
m
1
0
була мінімальна. У цьому і є суть методу найменших квадратів.

Дійсно, міняючи значення коефіцієнтів a , j  0 .. m мінятимемо
j

похибку , яка є їх функцією. Таким чином, виникає задача –

59