Page 43 - 4204

ЛЕКЦІЯ 4. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ СПЛАЙНАМИ

ховують виходячи з умов неперервності. Так для визначення n4

невідомих коефіцієнтів кубічного сплайна

3
2
S (x ) a  b (x  x ) c (x  x )  d (x  x ) , i 1 n .. ,
i i i i i i i i
на n інтервалах [x i , x 1  i ], маємо n 1 рівняння

S ( x ) y , i 1 .. n 1
i
i
i
(значення в n 1 вузлі). Умова неперервності функції та її пер-

ших двох похідних у n 1 внутрішніх вузлах x , x ,..., x інтерва-
n
3
2
лу ,[a ] b ще дає додатково (3 n  ) 1 рівнянь:

S i (x 1  i )  S 1  i (x 1  i ),  S i (x 1  i )  S  1  i (x 1  i ),  S i (x 1  i )  S  i   1 (x 1  i ), i .. 1 n  1.

Разом маємо n 1 ( 3 n  ) 1  4 n 2 рівняння. Два рівняння, яких

не вистачає, можна отримати, задаючи умови на кінцях інтервалу

[a , ] b . Зокрема, можна вимагати, щоб сплайн мав нульову кри-

вину на кінцях інтервалу, тобто

S (   a )  S (   x )  0,  S (b )  S (   x )  0.
1 1 n n 1 

Таким чином, для визначення n4 невідомих коефіцієнтів маємо

4 n лінійних рівнянь. Задаючи різні умови на кінцях інтервалу,

можна отримати різні сплайни.

Спосіб визначення похідних у вузлах сплайна визначає ши-

року різноманітність інтерполяційних сплайнів. Часто похідні ви-

значаються не як константи, а як деякі залежності від значень ін-

терпольованої функції і вузлів інтерполяції.

42