Page 40 - 4204

ЛЕКЦІЯ 4. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ СПЛАЙНАМИ

S m ,i (x i )  S m ,i 1 (x i ) та її похідних S' m ,i (x i )  S' m ,i 1 (x i ) до деякого

порядку включно.

Максимальний за всіма відрізками степінь многочленів нази-

вається степенем сплайна, а різниця між степенем сплайна та

порядком найвищої неперервної на відрізку [a , ] b похідної – де-

фектом сплайна.

Наприклад, неперервна кусково-лінійна функція (ламана) є сплайном

першого степеня з дефектом, що дорівнює одиниці, оскільки неперервною

є лише сама функція (похідна нульового порядку), а її перша похідна – це

вже розривна функція.

4.2. Кубічні сплайни

На практиці широке застосування отримали сплайни третього

степеня, які мають на відрізку [a , ] b неперервну похідну, щонай-

менше, першого порядку. Такі сплайни називають кубічними і

позначають через S 3 (x ). Величина похідної y'  ' f (x i )  S' 3 (x i ) на-
i

зивається нахилом сплайна в точці (вузлі) x .
i

Кубічний поліном вибраний тому, що, на відміну, наприклад,

від квадратичного, забезпечує ідеально плавне з’єднання кривих,

якщо вони з’єднуються в точках перегину, тобто в точках нульо-

вої кривини лінії, крім того – це крива найнижчого степеня, яка

має точку перегину, а отже й можливість змінювати знак криви-

ни.

Щоб задати кубічний сплайн S 3 (x ) на всьому відрізку ,[a ] b ,

потрібно в кожному з n  1 вузлів x задати значення сплайна
i

39