Page 41 - 4204

ЛЕКЦІЯ 4. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ СПЛАЙНАМИ

y  f (x i ) та його нахил y'  ' f (x i ). Тоді для визначення сплай-
i
i
на на i-му відрізку [x i , x  i 1 ] отримаємо систему з 4-х рівнянь

S , 3 i (x i )  y i ,

S
 3 ,i (x i 1 )  y i 1 ,
 (4.1)
 S' , 3 i (x i )  y' i ,
 S' (x )  y' ,
 , 3 i i 1 i 1

що дозволяє однозначно визначити 4 коефіцієнти полінома 3-ї

2 3
степені S (x ) a  b x  c x  d x .
, 3 i i i i i
2 3
a i  xb i i  xc i i  d i x i  y i ,

a i  xb i i 1  xc i i 2 1  d i x i 3 1  y i 1 ,
 (4.2)
b  2 xc  3 xd 2  y' ,
 i i i i i i
 2
b
 i  2 xc i i 1  3 xd i i 1  y' i 1 .

Для полінома 5-го степеня потрібно додатково задати значення

других похідних на кінцях відрізка, для 7-го степеня – третіх по-

хідних і т.д. Наведені міркування показують, чому сплайн буду-

ють переважно з поліномів непарних степенів (з парною кількіс-

тю коефіцієнтів), оскільки для поліномів парних степенів значен-

ня похідних у всіх вузлах не можуть бути вибрані довільно, а

мають взаємоузгоджуватися із сусідніми значеннями.

Для визначення коефіцієнтів сплайна на i-му відрізку

[x i , x  i 1 ], його зручно записувати у вигляді

3
2
S (x )  a  b (x  x ) c (x  x )  d (x  x ) ,
i i i i i i i i
(тут і надалі індекс 3, що вказує степінь сплайна, для спрощення

записів опускаємо). Тоді позначивши h  x i1  x , із системи
i
i

40