Page 42 - 4204

ЛЕКЦІЯ 4. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ СПЛАЙНАМИ

(4.1) отримаємо систему лише з 2-х рівнянь, оскільки інші два рі-

вняння при x  x дають розв’язки автоматично
i

 (xS i i )  a i  y i ,
 S (x )  y  y' h  hc 2  d h 3  y ,
 i i 1 i i i i i i i i 1

 S' i (x i )  b i  y' i ,
 2
 S' i (x i 1 )  y' i  2 hc i i  3 hd i i  y' i 1 ,

звідки коефіцієнти сплайна

y ( 3  y ) y'  2 y' ( 2 y  y ) ' y  ' y
y
a  , b  y' , c  i 1 i  i 1 i , d  i i 1  i i 1 .
i
i
i
i
i
i
h i 2 h i h i 3 h i 2
Отже, шуканий кубічний многочлен
( 3 y  y )  ( y ' 2y ) ' h
S (x )  y  'y (x  x )  i 1 i i 1 i i (x  x ) 2 
i i i i 2 i
h i
( 2 y  y )  ( ' y  ' y )h
3
 i i 1 i i 1 i (x  x i ) . (4.3)
h i 3

Можливі також інші форми запису сплайнів. Можна показа-

ти, що сплайн S i (x ), що набуває у вузлах x i , x  i 1 значення

y i , y  i 1 , відповідно, має на частковому відрізку [x i , x 1  i ] наступний

вираз перегрупований за значеннями y та y:

(x  )x 2  (2 x  x )  h  (x  x ) 2  (2 x  )x  h 
S i (x )  i 1 i i y i  i i 1 i y i 1 
h i 3 h i 3

2 2
(x  ) x (  xx ) (  xx ) (  xx )
 1  i i  y i  i 1  i  y . (4.4)
1  i
h 2 h 3
i i
Однак, потрібно розуміти, що вирази (4.3) та (4.4) – це один і той

самий кубічний многочлен, що визначається умовами (4.1).

Слід зауважити, що у вузлах, як правило, задають лише зна-

чення функції y , а значення похідних у вузлових точках розра-
i

41