Page 36 - 4204

ЛЕКЦІЯ 3. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ

Приклад. Знайти інтерполяційний поліном Ньютона:

і 0 1 2 3

y i 13 6 4 21

x i -2 -1 1 2

1 6 13 4  6 21 4
  7   1  17
 1 2 1 1 2 1

2  1 7 17 1
 2  6
1 2 2 1

3 6 2
 1
2 2

Для n = 3 інтерполяційний поліном Ньютона матиме вигляд:

N (x) = y + (x − x )f(x ; x ) + (x − x )(x − x )f(x ; x ; x ) +
0
2
1
0
0
0
1
1
0
3
+ (x − x )(x − x )(x − x )f(x ; x ; x ; x ), (3.5)
0
2
1
3
2
1
0
або підставивши вхідні дані та значення розділених різниць, отримаємо
N (х) = 13 + (х + 2)·(−7) + (х + 2)(х + 1)·2 + (х + 2)(х + 1)(х − 1)·1 =
3
3
2
 1 2x  4x  x .
Самостійно: перевірити умови N 3(х i) = y i , зокрема, що N 3(2) = 21.
Зауважимо, що до формули (3.5) входять різниці, розміщені
по лівому краю таблиці і точки додаються у порядку зростання,

тому вираз (3.5) ще називають інтерполяційною формулою

Ньютона вперед. Однак аналогічну формулу можна отримати

якщо починати інтерполяцію з правого краю від останньої точки,

і отримаємо інтерполяційну формулу Ньютона назад:

N (x) = y + (x − x )f(x ; x ) + (x − x )(x − x )f(x ; x ; x ) +
3
3
1
2
2
3
3
3
2
3
+ (x − x )(x − x )(x − x )f(x ; x ; x ; x ), (3.6)
2
3
2
0
1
3
1
35