Page 35 - 4204

ЛЕКЦІЯ 3. ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ФУНКЦІЙ

2
3.4. Інтерполяційна формула Ньютона

Шукатимемо інтерполяційний многочлен у вигляді:

N (x )  a  a (  xx )  a (  xx )(  xx )  ... a (  xx )...(  xx ).
n 0 1 0 2 0 1 n 0 n 1 

Це многочлен n-го степеня. Значення коефіцієнтів a , a , a , ..., a
0 1 2 n

знайдемо з умови рівності відомих значень шуканої функції та

многочлена у вузлах інтерполяції:

N ( x ) y , i 0 n .. .
n i i
Покладаючи x  x , знаходимо N n (x 0 ) a  0 y .
0
0
y  y
x
Для x  : N (x )  y  a (x  x )  y  a  1 0  f (x ;x ).
1 n 1 0 1 1 0 1 1 0 1
x  x 0
1
Для x  x : N (x )  y  f (x ;x )(x  x )  a (x  x )(x  x )  y 
2 n 2 0 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2

 y  y 
a   2 0  f (x ;x ) /(x  x )  f (x ;x ;x ). Продовжуючи за ана-
2  0 1  2 1 0 1 2
 x  x 0 
2
логією, отримаємо, що a  f (x ,x ,...x ). Тоді
n 0 1 n

N n (x )  y 0  f (x 0 ;x 1 )(  xx 0 )  f (x 0 ;x 1 ;x 2 )(  xx 0 )(  xx 1 )  ...

... f (x 0 ,x 1 ,...x n )(  xx 0 )(  xx 1 ) ... (  xx n 1  ). (3.4)

Вираз (3.4) називається інтерполяційним поліномом Ньютона для

заданої функції. Ця форма запису більш зручна для застосування,

оскільки при додаванні до вузлів x , x , x ...,, x нового x n 1  всі
2
1
0
n
обчислені раніше члени залишаються без змін, а у формулу дода-
ється тільки один доданок. При застосуванні ж формули Лагран-

жа всі обчислення потрібно робити заново.

2
Сер Ісаа́ к Нью́ то́ н (англ. Sir Isaac Newton, *4 січня 1643, Вулсторп — †31 березня
1727) — англійський учений, який заклав основи сучасного природознавства, творець
класичної фізики та один із засновників числення нескінченно малих.

34